terça-feira, 9 de dezembro de 2014

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quinta-feira, 20 de maio de 2010

Re: Pessoal Sercomtel

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Pessoal Sercomtel

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html

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Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior. Matemática Financeira. Passatempos. Cálculo Diferencial e Integral. Álgebra. Máximos e Mínimos. Equações Diferenciais Ordinárias. Variáveis complexas. Cálculos on-line. Harmonia Matemática. Notas de aulas. Sequências de Fibonacci, número de ouro e segmento áureo. Exercícios propostos e resolvidos.

Na parte superior, na barra de  navegação
estão as  8 áreas que
dispomos,  nas quais
estão     classificados
os  nossos  168  links.

 

Em cada link da barra de navegação, existem resumos sobre os conteúdos associados.

 

Conheço as tuas obras, o teu amor, a tua fé, o teu serviço, a tua perseverança e as tuas últimas obras são mais numerosas que as primeiras. Bíblia Sagrada, Apocalipse 2:19


visitas desde 14/04/1997

Sugerimos que utilize o modo de vídeo 800x600 e texto em nível médio (size=12pt).


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 05/out/2007.


 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/alegria.htm

 

 

Alegria Matemática

Roteiro geral

 

1.    Aplicações da Matemática

Transporte de containers. Antígenos (sangue humano). Sangue humano. Diâmetro da Terra. Lançamento de projéteis. Produção de medicamentos. Psicologia e ratos. Nutrição.

2.    Problema do burro

O problema do burro é interessante e simples de entender mas exige conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral. Vale a pena entender a Matemática envolvida no contexto.

3.    Sequências de Fibonacci: Propriedades matemáticas

Sequências de Fibonacci e o número de Ouro. Números de Fibonacci. Aplicações das Sequências de Fibonacci. Propriedades dos números de Fibonacci. Números de Fibonacci e o triângulo de Pascal. Propriedades lineares das sequências de Fibonacci. Função geratriz dos números de Fibonacci. Divisão de polinômios. A divisão longa.

4.    Sequências de Fibonacci: Aplicações

Sequências de Fibonacci. A Geometria, o Retângulo Áureo e o Nautilus. A Matemática e o Triângulo de Pascal. A Geometria e o Segmento Áureo. A Biologia e as Ramificações de troncos em árvores. A Biologia e o Problema das abelhas. A Ótica e a Reflexão de luz em uma fibra dupla de vidro. A Biologia e a Filotaxia. A Pintura e a Arte. A Arquitetura. A Indústria e Comércio. Dimensões áureas no ser humano.

5.    Plotador gráfico

Script obtido (freeware) para a plotagem de gráficos no plano cartesiano. Não é uma maravilha mas plota as principais funções bidimensionais conhecidas e outras que você poderá construir com a sintaxe de JavaScript. O Script foi grandemente modificado e melhorado para que um principante possa entender.

6.    Harmonia Matemática

Harmonia. Características harmônicas de objetos. Média harmônica e Harmônico Global que é um objeto matemático mais útil do que a média harmônica. Aplicações práticas (resistências em paralelo, capacitores em série, o problema das torneiras, trabalhos harmônicos de pessoas, circunferências ex-inscritas e velocidade média) onde o Harmônico Global é utilizado.

7.    Cálculos rápidos

50 dicas para realizar cálculos de uma forma rápida. Tais dicas são procedimentos corriqueiros usados por muitas pessoas que convivem no comércio.

8.    Problemas criativos

50 jogos, brincadeiras e passatempos que, de alguma forma, estão ligados à Matemática. Muitos dos problemas são de uso intenso de Matemática enquanto que outros são brincadeiras, embora existam algumas brincadeiras bastante sérias e que proporcionam aprendizagem para aquele que resolvê-las. Algumas respostas estão apresentadas e outras ficarão por conta do visitante.

9.    Extração da raiz quadrada

Algoritmo para a extração da raiz quadrada de um número real.

10.                      Calculadora simples em JavaScript

Calculadora simples obtida em um livro quando estudava a linguagem JavaScript. Esta calculadora, além de útil, pode mostrar como é o código (em JavaScript) para a produção de um programa de computador. Para ver o código fonte, basta clicar com o botão direito do mouse no Netscape e então clicar em View Source (ver fonte). Se você usa o Internet Explorer, há um procedimento similar. Alguns comandos de JavaScript (Netscape) são distintos de JScript (Microsoft).

11.                      Alguns livros de Matemática

Livros especiais que utilizamos no nosso cotidiano. Pelo menos a metade deles está em Português. Incluí estes títulos porque diversos visitantes de minha página reclamam da inexistência de bons livros relacionados com a Matemática. Muitas vezes encontramos Matemática em livros de criatividade ou de jogos e brincadeiras.

12.                      Projeto MatWeb

Projeto coordenado pelo Prof. Ulysses Sodré e supervisionado pela Profa. Sônia Ferreira Lopes Tóffoli, que foi desenvolvido junto a alunos e docentes do Curso de Matemática da Universidade Estadual de Londrina-PR (UEL) desde o início de 1997. Construímos uma página exclusivamente com assuntos de Matemática, elementos históricos, aplicações e exercícios propostos e resolvidos, contendo o material normalmente desenvolvido nos Ensinos Fundamental e Médio no Brasil. Quase todos os assuntos estão disponíveis em nosso site.

13.                      Roteiro do Projeto MatWeb

Roteiro para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que pode ser seguido com as informações sobre os links disponíveis. Na medida das nossas possibilidades, implementaremos materiais para o Ensino Superior. Aceitamos críticas construtivas para melhorar o conteúdo e corrigir as nossas falhas.


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.


 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/matfin.htm

 

Matemática Financeira

Roteiro geral

 

1.    Taxa de juros em financiamento (Sistema Price)

Cálculo da taxa de juros em um financiamento realizado pelo Sistema Price. Programa ímpar na Internet que possibilita verificar On Line se você está sendo explorado pelas financeiras ou lojas que fazem questão de esconder (ou mesmo nem saber como calcular) a taxa de juros de um financiamento, mesmo sabendo que existe uma obrigação legal para que a mesma seja apresentada ao comprador.

2.    Curso de Matemática Financeira

Matemática Financeira. Capital. Juros. Compatibilidade dos dados. Cálculo de juros simples. Montante. Fluxo de caixa. Juros Compostos e Montante composto. Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S). Variações da fórmula do Montante Composto. Cálculo do Valor Atual com juros compostos. Fator de Valor Atual. Juros compostos. Taxas. Tipos de taxas. A relação entre as taxas real, efetiva e a taxa da inflação. Aplicação em Caderneta de poupança. Cálculos de taxas equivalentes. Descontos e suas características. Financiamento pelo Sistema Price. Fator de Valor Atual para uma série uniforme.

3.    Analise de Investimento

Análise de Investimento ou Financiamento. Valor presente Líquido. Taxa Interna de Retorno. Análise entre dois investimentos ou financiamentos. A Matemática do Valor Presente Líquido: Operações com parcelas iguais (Begin e End) e com parcelas diferentes.

4.    Taxa Interna de Retorno

Programa (exclusivo) que calcula a Taxa Interna de Retorno do Fluxo de Caixa de uma operação financeira. A Taxa Interna de Retorno fornece a taxa real executada na operação. Se você souber a Taxa de Atratividade doi Mercado, poderá comparar com a Taxa da sua operação.

5.    Prestação Mensal

Cálculo para obter o valor de uma prestação em um financiamento, desde que saibamos a taxa mensal de juros (a que o vendedor informou na loja). Se você não acreditar no vendedor, vá ao link Taxa Juros (Sistema Price) Cálculos On-Line de nosso Site e verifique se é verdadeira a taxa informada. É bom tomar cuidado pois existem muitos impostos e taxas embutidos que são incorporados à taxa cobrada.

6.    Prestação com carência

Programa semelhante ao do Cálculo da Prestação de um financiamento no Sistema Price, somente que inclui a carência que deve ser indicada em número de dias.

7.    Fluxo de Caixa

O conceito de Fluxo de Caixa com exemplos. Resolução de alguns exercícios.

8.    Sistema de amortização

Comparativo entre diversos Sistemas de Amortização. Tabelas práticas com informações sobre os sistemas de: Pagamento único, Pagamentos variáveis, Americano, Amortização Constante (SAC), Price (ou Francês), Amortização Misto (SAM) e Alemão.

9.    Sistema Alemão

O sistema Alemão de Amortização e o seu modelo matemático. Fórmulas básicas. Problema típico.

10.                      Comparação entre os sistemas Price e PES

Análise comparativa entre os sistemas Price e PES (plano de Equivalência Salarial).


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.


 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm

 

Ensino Fundamental (primeiro grau no Brasil)

Roteiro geral

 

1.    Dicionário de Matemática Elementar

Pequeno dicionário de Matemática Elementar.

2.    Origem dos números

O surgimento do processo de numeração. Representação numérica. A capacidade humana de quantificar objetos. O ábaco. O sistema de numeração indo-arábico. Notação posicional e a criação do zero. O sistema de numeração. Observações sobre a numeração egípcia. O sistema de numeração romana.

3.    Números naturais (primeira parte)

Introdução, construção, igualdade, desigualdades e operações com números naturais.

4.    Números naturais (segunda parte)

Múltiplos e Divisores naturais. Números primos. Crivo de Eratóstenes. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o algoritmo para a sua obtenção. Máximo Divisor Comum (MDC) e o algoritmo para a sua obtenção. Relação entre MMC e MDC. Primos entre sí. Radiciação.

5.    Critérios de divisibilidade

Lista ímpar de Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49. Certamente você não encontrará este material em livros comuns! Em todos os casos há exemplos para você praticar.

6.    Exercícios sobre mmc, mdc e divisibilidade

Exercícios Resolvidos sobre Números Naturais, Múltiplos e Divisores naturais.

7.    Números inteiros

Curiosidades com números inteiros. Introdução aos números inteiros. Sobre a origem dos sinais. O conjunto Z dos Números Inteiros. A Reta Numerada. Ordem e simetria no conjunto Z. Módulo de um número Inteiro. A soma de números inteiros e suas propriedades. A Multiplicação de números inteiros e suas propriedades. A propriedade distributiva. Potenciação e radiciação de números inteiros.

8.    Frações

O papel das frações e números Decimais. Elementos históricos sobre os números Decimais. Frações e números Decimais. Leitura de Números Decimais. Transformação de frações decimais em números decimais. Transformação de números decimais em frações decimais. Propriedades dos números decimais. Operações com números decimais. Expressões com números decimais. Comparação de números decimais. Porcentagem.

9.    Frações decimais

Frações: elementos históricos, conceito, construção, definição, leitura, tipos e a propriedade fundamental. A fração como classe de equivalência. Números mistos. Simplificação de frações. Representação gráfica.

10.                      Números racionais

Relação entre números racionais e frações. Dízima periódica. A Conexão entre números racionais e números reais. Geratriz de uma dízima periódica. Números irracionais. Representação geométrica dos racionais. Ordem e simetria no conjunto Q. Módulo de um número racional. Adição e propriedades dos números racionais. Produto e propriedades dos números racionais. Propriedade distributiva em Q. Potenciação de números racionais. Radiciação de números racionais. Médias: Aritmética, Aritmética Ponderada, Geométrica e Harmônica.

11.                      Exercícios sobre frações e números decimais

Exercícios resolvidos de frações decimais e números Decimais.

12.                      Equações do 1o. grau

Introdução as equações e sentenças matemáticas. Equações do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (2 variáveis). Sistemas de equações primeiro grau. Desigualdades com duas equações.

13.                      Razões e proporções

Razões. Proporções. Propriedade fundamental das proporções. Razões e Proporções de Segmentos. Polígonos e Figuras Semelhantes. Aplicações práticas das razões.

14.                      Aplicações das Razões e proporções

Proporções com números e propriedades. Grandezas direta e inversamente proporcionais. Elementos históricos sobre a Regra de três. Regras de três simples direta e inversa. Regras de três composta. Porcentagem. Juros simples.

15.                      Divisão proporcional

Decomposição de um número em n partes: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais, simultaneamente em n partes direta e inversamente proporcionais. Regras de Sociedade.

16.                      Expressões algébricas

Expressões Numéricas e a sua importância. Elementos históricos. Expressões algébricas. Prioridade das operações numa expressão algébrica. Monômios e polinômios. Valor numérico de uma expressão algébrica. A regra dos sinais (multiplicação ou divisão). Regras de potenciação. Eliminação de parênteses em Monômios. Operações com expressões algébricas de Monômios. Alguns Produtos notáveis.

17.                      Equações do 2o.grau

Equações do segundo grau. A fórmula de Sridara (conhecida como sendo de Bhaskara). Exercícios e algumas tabelas interessantes.

18.                      Funções quadráticas

A função quadrática ou trinômia do segundo grau. Quatro importantes aplicações das parábolas nem sempre encontradas em livros básicos de Matemática até mesmo porque tais aplicações envolvem conhecimento de assuntos tratados num curso superior.

19.                      Geometria: Elementos

Introdução à Geometria Euclidiana. Ponto, Reta e Plano. Notações de Ponto, Reta e Plano. Pontos Colineares. Semi-reta. Segmentos: Retilíneos, Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes. Ponto médio de um segmento. Posições relativas de retas. Paralelas e Perpendiculares com régua e compasso.

20.                      Geometria: Ângulos

O conceito de Ângulo e notas históricas. Ângulos: Consecutivos, adjacentes, opostos pelo vértice e congruentes. Medida de um ângulo. Unidades de medida de ângulos. Notas históricas sobre grau e radiano. Alguns ângulos especiais. Interior e Exterior de um ângulo. Ângulos: Complementares, Suplementares e Replementares.

21.                      Geometria: Polígonos

Segmentos Lineares. Poligonais abertas. Polígono. Região poligonal. Poligonais e convexidade. Polígonos e o número de lados. Polígono Regular. Triângulos. Triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos. Ângulos em um triângulo. Congruência de triângulos e estudos de casos. Razão entre segmentos de reta. Segmentos Proporcionais. Feixe de retas paralelas. Semelhança de Triângulos e estudos de casos. Os quadriláteros e sua classificação.


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.


http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm

 

Ensino Médio (segundo grau no Brasil)

Roteiro geral

 

1.    Teoria dos conjuntos

Conjuntos e suas propriedades. Conjuntos como conceitos primitivos, relações de pertinência e inclusão, reunião, interseção, complementar, diferença simétrica, etc... Principais propriedades associadas às operações citadas acima, apelando fortemente para os aspectos geométricos.

2.    Relações e Funções

Relações e funções no cotidiano. Plano e Produto Cartesiano. Relações e suas propriedades. Domínio e Contradomínio de relação. Relações inversas. Relações de equivalência. Funções no plano Cartesiano e o conceito de função real. Relações que não são funções. A geometria das principais funções reais como: Afim, Linear, Identidade, Constante, Quadrática e Cúbica. Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função. Funções: injetoras, sobrejetoras, bijetoras, pares, ímpares, crescentes, decrescentes, compostas e inversas. Operações com funções. Funções polinomiais e uma aplicação no cálculo de máximos e mínimos de uma função polinomial.

3.    Relações e Funções: Exercícios resolvidos

Exercícios sobre funções.

4.    Logaritmos

Estudo cuidadoso de logaritmos. Com cuidado, definimos o logaritmo como uma função (na verdade é uma integral) que depende da área da região localizada sob a curva y=1/x entre duas retas verticais. Propriedades dos logaritmos.

5.    Logaritmos: Exercícios

88 Exercícios propostos (sem resposta) sobre Logaritmos. Ensinamos a usar o browser para obter o logaritmo e potências de números reais.

6.    Tábua (moderna) de Logaritmos

7.    Funções exponenciais

Funções exponenciais. Conexão entre o número de Euler e a função exponencial. Propriedades da função exponencial. Simplificações matemáticas. Outras funções exponenciais. Leis dos expoentes. Fórmula de Euler. Aplicações: Lei do resfriamento dos corpos, Curvas de aprendizagem, Desintegração radioativa e Crescimento populacional.

8.    Funções exponenciais: Exercícios

Exercícios resolvidos com funções exponenciais.

9.    Sequências reais

Sequências reais clássicas e outras como a sequência de Fibonacci. A geometria é usada para aprofundar o assunto. Tal assunto não está sendo bem tratado no Ensino Médio e ocorre descuido por parte de muitos docentes que se esquecem que uma sequência não é um conjunto e sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

10.                      Análise combinatória e o binômio de Newton

Análise Combinatória simples e com repetição. Arranjos. Permutações. Combinações. Regras gerais em Combinatória. Propriedades das combinações. Número binomial. Teorema binomial.

11.                      Análise combinatória: Exercícios

Exercícios (com sugestões) sobre: Permutações simples, com repetição e circulares, Combinações simples e com repetição, Arranjos simples e com repetição, condicionais. Demonstrações com Fatorial. Regra do produto.

12.                      Matrizes

Matrizes e suas principais propriedades. Os assuntos normalmente abordados no Ensino Médio estão cobertos neste material e alguns outros que são tratados somente no Ensino Superior são também apresentados.

13.                      Determinantes

Estamos construindo esta página sobre determinantes, mas já existe um bom material para consulta contendo determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 com as principais propriedades dos determinantes de matrizes quadradas de ordem n maior ou igual a 2.

14.                      Elementos de uma matriz 3x3

Elementos que podemos obter de uma matriz 3x3. Basta entrar com os valores dos elementos da matriz 3x3 para obter informações como: traço, determinante, cofatora, adjunta, inversa, transposta, etc.

15.                      Sistemas lineares

Sistemas de equações lineares. Equações lineares e não lineares. Soluções de equações. Classificação de sistemas lineares. Sistemas equivalentes. Operações elementares por linhas. Resolução passo-a-passo de um sistema de equações lineares por escalonamento. Aplicações. Exercícios. Exemplos.

16.                      Resolução de um sistema linear 2x2 (on-line)

Solução de um sistema linear 2x2 pela regra de Cramer.

17.                      Resolução de um sistema linear 3x3 (on-line)

Solução de um sistema linear 3x3 pela regra de Cramer.

18.                      Números complexos

O conjunto dos números complexos e suas principais propriedades. Forte ênfase é dada ao aspecto geométrico uma vez que estudar os números complexos é algo semelhante a estudar vetores no plano cartesiano. A forma polar é explorada de modo intenso e ao final mostro como calcular raízes n-ésimas de um número complexo.

19.                      Polinômios

Polinômios: Definições e características. Grau de um polinômio e suas características. Igualdade e nulidade de polinômios. Propriedades algébricas da soma e produto de polinômios. O Espaço vetorial dos polinômios reais. O Algoritmo da divisão de polinômios. Zeros (raízes) de um polinômio. Equações algébricas e transcendentes. Métodos de resolução algébrica de equações. Teorema fundamental da Álgebra. Identidades e desigualdades polinomiais.

20.                      Produtos notáveis

Produtos notáveis ensinados no Ensino Fundamental e uma lista extensa de outros que são utilizados no Ensino Médio e Superior. Em todos os casos há exemplos numéricos.

21.                      Raízes de equações do segundo grau

Programa elaborado com a linguagem JavaScript para obter as raízes de uma equação do segundo grau. O primeiro programa que colocamos na Web usou muitas informações de um link que ponho em minha página, porém o programa foi completamente reformulado com diversas correções. Ainda mantenho o link original em minha página.

22.                      Raízes de equações do terceiro grau (Método de Tartaglia)

Estudo sobre o processo numérico-algébrico de Tartaglia para a obtenção das três raízes de uma equação do terceiro grau. O processo é apresentado do ponto de vista teórico. Para obter as raízes de uma equação cúbica você não precisa utilizar o método de Tartaglia, basta utilizar o nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau Cálculos On-Line que criamos nesta mesma página. A precisão do cálculo corresponde a 10 dígitos após a vírgula.

23.                      Raízes de equações do terceiro grau

Formulário para obter as três raízes de uma equação algébrica de terceiro grau. Não utilizei qualquer método aproximado para a obtenção de qualquer uma das raízes e sim o método de Tartaglia, conhecido como sendo de Cardano, pois Cardano realmente publicou tal processo, porém estudos matemáticos históricos mais aprofundados constataram que foi realmente Tartaglia quem criou o método.

24.                      Desigualdades reais

Sistema ordenado de nú reais. Reta numerada. Relação de ordem sobre R. Módulo de um número real. Desigualdades reais. Multiplicação de desigualdade. Conjunto solução. Desigualdades equivalentes. Sistema de desigualdades. Desigualdades da Matemática. Principais tipos de desigualdades. Desigualdade linear. Desigualdade quadrática. Desigualdades com frações lineares. Desigualdades com produto de fatores. Desigualdades com produto ou quociente de fatores. Desigualdade irracional. Desigualdade modular. Desigualdade exponencial.


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.


 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geometria.htm

 

Geometria Plana e Espacial

Roteiro geral

 

Geometria Plana

1.    Elementos de Geometria plana

Geometria Plana do ponto de vista elementar. As principais figuras planas são apresentadas e existe um forte apelo visual.

2.    Um triângulo equilátero

Triângulo difícil. Deve-se realizar várias operações algébricas envolvendo equações do segundo grau. Apresentamos outra forma para obter a área de um triângulo. Apresentamos um problema simples que costuma deixar muita gente "quebrando a cabeça".

3.    Um triângulo isósceles

Triângulo especial que tem aparecido em alguns vestibulares. Para obter o ângulo procurado deve-se realizar muitas operações algébricas e tem-se a impressão de estarmos calculando o ângulo de uma forma cíclica sem a possibilidade de obter a resposta desejada. A solução faz uso forte da lei dos senos para um triângulo.

4.    Círculo, circunferência e arcos

Aplicações da circunferência. Circunferência. Círculo. Pontos interiores e exteriores a uma circunferência. Raio, corda e diâmetro. Posições relativas de: retas e circunferência, de secantes e tangentes a uma circunferência, de duas circunferências, de segmentos tangentes a circunferências. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência. Arco de circunferência e ângulo central. Propriedades de arcos e cordas. Ângulo inscrito, semi-inscrito e arco capaz. Outras propriedades com cordas e segmentos.

5.    Áreas de regiões poligonais

O Triângulo e uma região triangular. O conceito de região poligonal. Unidade de área. Cálculo da área do: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, losango, trapézio. Áreas de triângulos semelhantes. Polígonos regulares e seus elementos. Áreas de polígonos regulares. Áreas de polígonos semelhantes.

6.    Áreas de regiões circulares

O círculo como limite de regiões poligonais regulares. Perímetro e Área do Círculo. Arcos. Setor circular. Segmento circular. Curiosidades sobre o número Pi.

7.    Exercícios de áreas de regiões poligonais

Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões poligonais.

8.    Exercícios de áreas de regiões circulares

Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões circulares.

9.    Geometria analítica plana

Geometria Analítica plana, iniciando com as coordenadas no plano e dando ênfase no estudo das equações da reta. Também são estudadas as curvas cônicas nas suas formas padrões.

10.                      Fórmula de Heron: área de região triangular

Demonstração da Fórmula de Heron. Exercício resolvido. Programa on-line para calcular áreas de regiões triangulares, conhecidos os três lados.

11.                      Vetores no plano cartesiano

Vetores no plano Euclidiano e suas propriedades. O Plano cartesiano como um Espaço Vetorial bidimensional. Interpretação geométrica do produto escalar e suas principais propriedades.

Geometria Espacial

12.                      Elementos de Geometria Espacial

Elementos gerais sobre a Geometria Espacial. Veja nossos outros links sobre Geometria espacial.

13.                      A noção de espaço

Um conceito de espaço. O que é um Sistema de Coordenadas e como este conceito aparece em nosso cotidiano. Outros sistemas de Coordenadas, como: coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e um sistema geográfico de coordenadas. Uma idéia do que é o espaço R4. Exemplo de como o ser humano pode ser pensado como um objeto em R5. Algumas idéias sobre a inflação e uma análise deste objeto tão maltratado à luz da noção de Espaço. Exercícios.

14.                      Cilindros

O cilindro e o seu uso no nosso cotidiano. Exemplos onde este conceito é utilizado. Cilindros são superfícies e não sólidos como encontramos em muitos livros. Estendemos o conceito de cilindro a algo não usual. Lista de elementos geométricos do cilindro. Cálculo das áreas lateral e total do cilindro, assim como o volume da região envolvida pela superfície cilíndrica.

15.                      Cones

Cone e seus elementos: base, vértice, eixo, altura, geratriz, superfície lateral, superfície do cone, seção meridiana. Cones: circular, elíptico, reto e oblíquo. Áreas lateral e total do cone. Cone equilátero. Exercícios resolvidos.

16.                      Esferas

Aplicações da esfera. Aplicação prática da esfera no cálculo de volumes de recipientes onde se conhece a altura do líquido. A esfera é apresentada como uma superfície, ao contrário de algumas outras que sugerem que a esfera seja um sólido. Fórmulas não triviais para obter cálculos de áreas e volumes de objetos esféricos. Cálculo do volume de calotas nos hemisférios Sul e Norte. Demonstração de uma fórmula não trivial com o uso do Cálculo Diferencial e Integral. Programa escrito em Javascript para a realização de Cálculos On Line de elementos esféricos.

17.                      Pirâmides

Pirâmides: Elementos e Classificação. Pirâmide regular reta. Área lateral de uma pirâmide. Área total de uma pirâmide. Volume de uma pirâmide. Seção transversal de uma pirâmide.

18.                      Poliedros

Poliedros e os seus elementos: Faces, Arestas e Vértices. Poliedros convexos e as relações de Euler. Poliedros regulares e importantes relações matemáticas relacionadas com eles. Tabelas com elementos para o cálculo do raio do círculo inscrito, raio do círculo circunscrito, ângulo diedral, área lateral e volume de um poliedro regular convexo.

19.                      Prismas

Prisma e os seus tipos principais, de acordo com a inclinação das arestas laterais. As seções transversal e reta de um prisma. A planificação do prisma. Cálculos das áreas lateral e total do prisma e do volume do mesmo. O tronco de um prisma e o seu volume.

20.                      Vetores no espaço R³

Conexão entre vetores de R2 e R3. Os conceitos de: Vetor em R3, soma de vetores e suas propriedades, aplicações geométricas, produto de escalar por vetor e suas principais propriedades, módulo de um vetor, vetores unitários e a importância desse conceito. Produto escalar e as suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto escalar. Vetores ortogonais, produto vetorial e suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto vetorial. O produto vetorial ao cálculo de áreas de paralelogramos e triângulos. Produto misto e o seu uso no cálculo de volumes de paralelepípedos e tetraedros não regulares.


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 25/mar/2005.


 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm

 

Trigonometria do triângulo, do círculo e da hipérbole

Roteiro geral

 

1.    Trigonometria do triângulo retângulo

Aplicações da Trigonometria. Triângulo Retângulo. Lados de um triângulo retângulo. Nomenclatura dos catetos. Propriedades do triângulo retângulo. A hipotenusa (base) do triângulo. Projeções de segmentos. Projeções no triângulo retângulo. Relações Métricas. Seno. Cosseno. Tangente.

2.    Elementos gerais sobre Trigonometria

Elementos gerais sobre Trigonometria. O papel da trigonometria. Ponto móvel sobre uma curva. O número pi. Arcos: medida e unidades.

3.    Exercícios: Elementos gerais de Trigonometria

Exercícios resolvidos - Elementos gerais sobre Trigonometria. O papel da trigonometria. Ponto móvel sobre uma curva. O número pi. Arcos: medida e unidades.

4.    O círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico. Arcos com mais de uma volta. Arcos côngruos e ângulos. Arcos simétricos em relação: ao eixo OX, eixo OY e à origem.

5.    Exercícios: O círculo trigonométrico

Exercícios resolvidos - Círculo trigonométrico. Arcos com mais de uma volta. Arcos côngruos e ângulos. Arcos simétricos em relação: ao eixo OX, eixo OY e à origem.

6.    Seno, Cosseno e Tangente

Seno e cosseno. Tangente. Ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes. Simetria em relação ao eixos OX e OY e em relação à origem. Ângulos notáveis. Relações fundamentais. Forma polar de número complexo. Soma e diferença de ângulos.

7.    Exercícios: Seno, Cosseno e Tangente

Exercícios resolvidos - Seno e cosseno. Tangente. Ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes. Simetria em relação ao eixos OX e OY e em relação à origem. Ângulos notáveis. Relações fundamentais. Forma polar de número complexo. Soma e diferença de ângulos.

8.    Cotangente, Secante e Cossecante

Cotangente, secante e cossecante, suas propriedades e relações trigonométricas. Ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes. Alguns ângulos notáveis.

9.    Exercícios: Cotangente, Secante e Cossecante

Exercícios resolvidos - Cotangente, secante e cossecante, suas propriedades e relações trigonométricas. Ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes. Alguns ângulos notáveis.

10.                      Resolução de triângulos

Resolução de triângulos. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Área de um triângulo (Heron).

11.                      Exercícios: Resolução de triângulos

Exercícios resolvidos - Resolução de triângulos. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Área de um triângulo segundo Heron.

12.                      Fórmulas de arcos: duplo, triplo e metade

Arcos: duplo, triplo e metade. Fórmulas de arco duplo, triplo e metade.

13.                      Exercícios: Adição e subtração de arcos

Exercícios resolvidos - Arcos: duplo, triplo e metade. Fórmulas de arco duplo, triplo e metade.

14.                      Funções trigonométricas circulares

As Funções trigonométricas circulares e suas propriedades: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

15.                      Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas: arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-cotangente.

16.                      Trigonometria hiperbólica

Funções exponenciais. Cosseno e Seno hiperbólico. Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos. Relação fundamental da trigonometria hiperbólica. Porque trigonometria hiperbólica? Trigonometria circular versus trigonometria hiperbólica. Funções inversas. Integrais difíceis e Aplicações.


Construída por Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré. Atualizada em 25/mar/2005.


 

 

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Ensino Superior

Roteiro geral

 

Álgebra

1.    Autovalores e autovetores

Introdução aos autovalores. Autovalores e Autovetores. Autoespaço associado. Polinômio característico. Matrizes Semelhantes. Matriz ortogonal. Aplicação em Geometria. Aplicação em Eq.Diferenciais.

2.    Consistência de sistemas lineares

Problema com as três retas no plano cartesiano. Solução simples. Solução hipotética. Análise da consistência para apenas 2 equações. Análise da consistência para as 3 equações. Condição correta. Criatividade com sistemas lineares e não-lineares.

3.    Corpos

Propriedades distributivas. Corpos. Propriedades do elemento nulo. Isomorfismo de corpos. Propriedades gerais no corpo.

4.    Determinantes

Matriz cofatora. Alguns determinantes particulares. Determinante obtido por linhas. Determinante obtido por colunas. Permutação. Função determinante. Partição de matriz. Propriedades dos determinantes.

5.    Espaços vetoriais

Espaços vetoriais, suas propriedades e exemplos. Subespaços vetoriais, suas caracterizações e exemplos. Combinações lineares. Conjuntos gerados e suas propriedades. Soma de subespaços. Interseção de subespaços. Soma direta de subespaços.

6.    Funções

Aplicação e seus elementos. Restrição e extensão de uma aplicação. Aplicações: injetora, sobrejetora e bijetora. Composição de aplicações. plicações inversas. Imagem direta e imagem inversa por aplicação. Propriedades mistas.

7.    Funções: Exercícios

Exercícios sobre funções.

8.    Glossário de Álgebra Linear

Uma pequena lista de palavras muito importantes da Álgebra Linear com as suas definições.

9.    Grupos

Aplicação binária e as suas cCaracterísticas. Proposição sobre o simétrico. Grupo. Exemplos importantes de grupos. Tabelas de operações binárias. Interpretação das tabelas. Isomorfismo de grupos.

10.                      Método dos mínimos quadrados

Método dos Mínimos Quadrados. Mostro como obter a reta, a parábola e a cúbica de melhor ajuste. Deixo como exercício a quártica para o visitante da página. Procedimento para a obtenção de uma superfície quadrática de melhor ajuste para dados no espaço tridimensional e uma aplicação deste último caso.

11.                      Relações

Introdução às relações. Relações e suas propriedades. Relação de Equivalência. Classes de Equivalência. Relação de Ordem.

12.                      Somas de potências dos primeiros números naturais

Somas das potências de ordem 1, 2, 3, 4, ... dos n primeiros números naturais, com os procedimentos matemáticos que justificam as somas.

Cálculo Diferencial

13.                      Números reais

Estudo dos números reais com as principais propriedades. Tratamento axiomático do assunto. Fundamentos lógicos desses objetos. Questões cruciais, como a regra dos sinais, são tratadas com cuidado. A definição precisa de raiz quadrada é também apresentada.

14.                      Limites de funções reais

Limites de funções reais e a sua utilidade. Exemplos. Limites, limites laterais, limites infinitos e limites no infinito. Teorema sobre a unicidade do limite. Principais propriedades dos limites. Teorema do Confronto (regra do sanduiche) e o teorema da nulidade. Formas indeterminadas.

15.                      Zero elevado a zero

Zero elevado a zero deve ser considerado como 1? Com um exemplo, mostro não é verdade e comento sobre outras possibilidades.

16.                      Funções contínuas

Continuidade de funções reais e suas principais propriedades. Teorema do Valor Intermediário.

17.                      Derivadas de funções reais (1a. parte)

Derivadas de funções reais e a interpretação geométrica. Diferencial de uma função. Derivadas laterais. Diferenciabilidade e continuidade. Algumas derivadas simples. Muitos exemplos. Continua na segunda parte.

18.                      Derivadas de funções reais (2a. parte)

Outras derivadas de funções. Regras de derivação. Projeto para um trabalho sobre trigonometria hipérbólica. Derivadas de ordem superior. Derivadas de funções implícitas. Regra de L'Hôpital. Fórmula de Taylor. Muitos exemplos.

Máximos e mínimos de funções de 1 variável

19.                      Conceitos básicos

Vizinhança de um ponto. Ponto interior de um conjunto. Interior de um conjunto. Máximos global e local para uma função. Mínimos global e local para uma função. Muitos exemplos.

20.                      Teste da primeira derivada

O teste da primeira derivada para obter Máximos e Mínimos. Pontos críticos. Um teorema de Fermat. Critério da primeira derivada. Teorema do Valor máximo. Teorema de localização.

21.                      Teste da segunda derivada

O teste da segunda derivada para obter Máximos e Mínimos. O teste da n-ésima derivada para obter Máximos e Mínimos. Ponto de inflexão horizontal. Concavidade.

22.                      Médias Aritmética-Geométrica-Harmônica

Médias Aritmética, Geométrica e Harmônica. Desigualdades com as médias. Médias e extremos de funções.

23.                      Aplicações numéricas

Aplicações numéricas dos conceitos de Máximos e Mínimos.

24.                      Aplicações geométricas

Aplicações geométricas no plano e no espaço dos conceitos de Máximos e Mínimos.

25.                      Aplicações práticas

Aplicações físicas e outras especiais dos conceitos de Máximos e Mínimos.

26.                      Derivada implícita

Derivação implícita com exemplos numéricos. A regra geral para obter extremos de funções usando derivação implícita.

Cálculo Integral

27.                      Integrais de funções reais de 1 variável

Introdução ao Cálculo. Histórico sobre a integral. Partição de um intervalo. Integral de uma função real. Observações sobre a definição de integral. Propriedades da integral definida. O Teorema da Média. Primitivas. Integral indefinida e algumas regras gerais. Aplicação da integral indefinida. Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicação da integral definida. Integração por substituição. Integração por partes.

28.                      Cálculo do volume em um cilindro deitado

Cálculo do volume de um líquido em um cilindro circular reto deitado, conhecida a altura. Abordo o problema do ponto de vista teórico e vários assuntos didáticos são tratados, como a importância da Trigonometria e do Cálculo Diferencial e Integral. No final apresento um formulário (escrito em JavaScript) para que os interessados possam realizar cálculos On-line.

29.                      Aplicações da integral: Comprimento de arco

Aplicações da integral: Comprimento de arco de curvas planas. Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link sobre Integrais de Funções reais, onde você verá os principais conceitos sobre o assunto. As fórmulas são acompanhadas por exemplos ilustrativos.

30.                      Aplicações da integral: Momentos estáticos

Aplicações da integral: Momentos Estáticos de curvas planas. Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link sobre Integrais de Funções reais, onde você verá os principais conceitos sobre o assunto. As fórmulas são acompanhadas por exemplos ilustrativos.

31.                      Aplicações da integral: Momentos de inércia

Aplicações da integral: Momentos de Inércia de curvas planas. Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link sobre Integrais de Funções reais, onde você verá os principais conceitos sobre o assunto. As fórmulas são acompanhadas por exemplos ilustrativos.

32.                      Aplicações da integral: Área de superfícies de revolução

Aplicações da integral: Áreas de superfícies de revolução. Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link sobre Integrais de Funções reais, onde você verá os principais conceitos sobre o assunto. As fórmulas são acompanhadas por exemplos ilustrativos.

33.                      Aplicações da integral: Volumes de sólidos de revolução

Aplicações da integral: Volumes sólidos de revolução. Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite o nosso link sobre Integrais de Funções reais, onde você verá os principais conceitos sobre o assunto. As fórmulas são acompanhadas por exemplos ilustrativos.

34.                      Projeto para futuros desenvolvimentos

Projeto visando algumas aplicações da Integral Definida, como, por exemplo: Propriedades das regiões planas simples e regiões planas compostas, Propriedades das superfícies de revolução, Área de uma superfície, Momento estático de uma superfície, Momento de inércia de uma superfície, Propriedades dos sólidos homogêneos simples, Volume de um sólido simples, Momento estático de um sólido simples, Momento de inércia de um sólido simples, Propriedades dos sólidos compostos.

Equações Diferenciais Ordinárias

35.                      Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Equação Diferencial, Ordem e Grau. Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n. Solução de uma Equação Diferencial. Existência e unicidade de solução. Problema de Valor Inicial (PVI). Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais Ordinárias.

36.                      EDO de Primeira ordem

As formas normal e diferencial. Equações Separáveis, Homogêneas, Exatas e Lineares. Equações não lineares.

37.                      EDO de Segunda ordem

Equações lineares e homogêneas. Teorema de Existência e unicidade de solução. Equações Lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Equações Lineares não homogêneas. Método dos Coeficientes a determinar e da Variação dos parâmetros.

38.                      Aplicações de EDO

Decaimento Radioativo. Crescimemnto populacional: Malthus e Verhulst. Lei do resfriamento de Newton. Circuitos Elétricos.

39.                      Método de d'Alembert para obter outra solução de uma EDO

Metodo de d'Alembert para obter outra solução de uma Equação Diferencial Ordinária a partir de uma solução dada.

40.                      EDO de Euler (ou Cauchy)

Equação eqüidimensional de Euler (ou de Cauchy).

41.                      Redução da ordem de uma EDO

Redução da ordem de uma Equação Diferencial Ordinária.

42.                      Método das frações parciais

O método das frações parciais para decompor uma função racional em funções mais simples.

43.                      Transformadas de Laplace

Transformada de Laplace. Funções seccionalmente contínuas e de ordem exponencial. Propriedades lineares das Transformadas de Laplace. Tabelas e Propriedades. Resolução de: Equação Diferencial Ordinária Linear, Equação Integro-diferencial, Sistemas de Equações Diferenciais e Equação com coeficientes variáveis. Derivadas das Transformadas de Laplace. Convolução de funções. Produto de Transformadas de Laplace. Método das frações parciais. Translações de funções. Transformada de Laplace de uma função periódica. Função Gama.

Notas de aulas em arquivos pdf

44.                      Equações Diferenciais Ordinárias (edo.pdf)

Notas de aulas sobre Equações Diferenciais Ordinárias. (pdf)

45.                      Séries de Fourier (sfourier pdf)

Notas de aulas sobre Séries de Fourier.

46.                      Exponenciais de matrizes (expa.pdf)

Notas de aulas sobre Exponenciais de matrizes. (pdf)

47.                      Transformadas de Laplace (laplace.pdf)

Notas de aulas sobre Transformadas de Laplace.

48.                      Transformadads de Fourier (tfourier.pdf)

Notas de aulas sobre Transformadas de Fourier.

49.                      Equações Diferenciais Parciais (edp.pdf)

Notas de aulas sobre Equações Diferenciais Parciais. (pdf)

Variáveis complexas

50.                      Números complexos

Números complexos. Igualdade, adição, subtração, multiplicação de números complexos. Conjugado de um número complexo. Divisão de números complexos. Valor absoluto de um complexo. O plano complexo. Interpretação vetorial dos complexos. Forma polar dos números complexos. Fórmula de De Moivre. Raízes n-ésimas de complexos. Fórmula de Euler. Propriedades da função exponencial.

51.                      Conjuntos de pontos no plano complexo

Equações paramétricas no plano complexo. 'Ordenando' pontos sobre uma curva. Equação paramétrica da reta. Parametrização de segmento. Ponto médio de um segmento. Distância entre pontos. Circunferência no plano complexo. Conceitos topológicos.

52.                      Funções de uma variável complexa

O conceito de função complexa. Funções uniformes e multiformes. Decomposição de uma função complexa. Representação geométrica.

53.                      Limites de funções de uma variável complexa

Limite de uma função complexa. Função limitada e limite da função. Limites no infinitos e limites infinitos. Unicidade do limite. Teoremas sobre sobre limites. Decomposição de função e o limite.

54.                      Continuidade de funções de uma variável complexa

Função contínua em um ponto. Descontinuidade removível e essencial. Função contínua em uma região. Composição de funções. Teoremas sobre a continuidade


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 25/mar/2005.


 

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Cálculos on-line

Roteiro geral

 

1.    Volume de um sólido elipsoidal

Cálculo do volume da região elipsoidal. Basta entrar com as medidas dos três semi-eixos para obter o cálculo do volume.

2.    Volume de um sólido cilíndrico

Cálculo do volume de um tronco de cilindro circular reto seccionado por um plano de modo que se deve conhecer a altura menor e a altura maior e o raio da base.

3.    Área de quadrilátero convexo com lados diferentes

Cálculo da área de uma figura plana convexa com quatro lados diferentes. Mostramos que para realizar o cálculo deve-se conhecer o ângulo formado pelas duas diagonais, assim você deve usar o transferidor que apresentamos na página. Para o cálculo deste tipo de área as pessoas erram tomando as médias aritméticas entre os pares de lados opostos e multiplicam estas médias como se a região fosse um retângulo.

4.    Área de região elíptica

Cálculo da área da região elíptica de semi-eixos conhecidos. Quando tomamos os semi-eixos iguais a 1, obtemos o valor da constante Pi com 15 dígitos exatos.

5.    Área de região interior a um trapézio

Cálculo da área de um trapézio, que é uma figura plana que possui dois lados paralelos.

6.    Área de um trapezóide

Cálculo da área da região interior a um trapezóide, que é uma figura plana semelhante a um trapézio, mas não possui um segundo lado paralelo à base. Aqui deve-se conhecer as duas alturas medidas a partir dos vértices que representam interseções de dois lados que não estão na base.

7.    Número de dias entre duas datas

Cálculo on-line do número de dias entre duas datas no calendário gregoriano.

8.    Fatorial de um número natural

Cálculo on-line para o cálculo do fatorial de um número natural.

9.    Números perfeitos

Cálculo on-line para verificar se um número natural é perfeito.

10.                      Posição de um número primo

Cálculo on-line para obter o número primo da posição m.

11.                      Restos de divisão por inteiros

Cálculo on-line para obter um número a partir dos restos das divisões por números inteiros. O código fonte está na página.

12.                      Convertendo números naturais em romanos

Cálculo on-line para escrever um número decimal em numeração romana.


Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.