terça-feira, 14 de julho de 2009

TRIGONOMETRIA

INTRODUÇÃO



 

Trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começou como uma Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.
A trigonometria começou com as civilizações babilôlica e egípcia e desenvolveu-se na Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII d.C., astronômos islâmicos aperfeiçoaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções trigonométricas.
A trigonometria moderna começou com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaram os cálculos trigonométricos.

ARCOS E ÃNGULOS  

ÂNGULOS NOTÁVEIS

REL ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

O CICLO TRIGONOMÉTRICO

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ARCOS E ÂNGULOS

1. O Grau


Definimos como 1 grau o arco equivalente a a circunferência, isto é, em uma circunferência cabem 360 º.

Exemplos:


Dividindo a circunferência em 4, 6 e 8 partes congruentes, temos:

O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto(,) e segundo(,,), de forma que:
1º =60' e 1'`=60,,

O Radiano

Definimos 1 radiano como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde tal arco foi determinado.

A partir da figura, imagine que o arcos AB foi retificado. O Segmento AB obtido, tendo comprimento igual ao raio da circunferência, indica que a medida do arco, em radianos, equivale ao número de vezes que o comprimento do raio cabe nesse arco, ou seja, sendo 1 e R os comprimentos do arco e do raio da circunferência, respectivamente, temos:
a=1/R

Lembramos que o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por 2pR. Utilizando a relação apresentada acima, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos:
alfa=2pR/R = 2prad

Exemplos:

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Ângulos Notáveis


 

1. O ângulo de 45°

 

Consideremos um quadrado de lado 1.

No ABC temos:

tg 45o = 1

2. Os Ângulos de 30° e 60°

 

Consideremos um triângulo equilátero de lado 1.

O ABH temos:

3. Zero Grau

 

Embora não tenhamos um triângulo retângulo com um dos ângulos de 0°, definimos:

sen 0° = 0; cos 0° = 1 e tg 0° = 0

Desta forma: cossec 0° não é definida, pois seria

.

cotg 0° não é definida, pois seria .

4. Noventa Graus

 

De modo especial definimos as razões trigonométricas de 90°. Assim:

sen 90° = 1; cos 90° = 0 e cotg 90° = 0

Desta forma:

cossec 90° =

sec 90° não é definida, pois seria .

tg 90° não é definida, pois seria .

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Rel. entre as Razões Trigonométricas

 

Consideremos o triângulo retângulo ABC, com

1.

2. Cotg a=

3. sen2a + cos2a=1

mas b2+c2=a2, então:

sen2a + cos2a=+ cos2a=1

4. sec2a= 1 + tg2a

tg a = 1 + tg2a = 1 +

mas c2 + b2 = a2, então:

1 + tg2a =

como =sec a, temos: 1 + tg2a = sec2a

5. cossec2 a= 1 +cotg2a

mas b2 + c2=a2, então:

como = cossec a, temos: 1+cotg2a=cossec2

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O Ciclo Trigonométrico

 

1. Conceituando o Ciclo Trigonométrico

 

As razões trigonométricas, aplicadas a arcos de uma circunferência, mantêm as mesmas propriedades que demonstramos ser válidas quando utilizadas com ângulos agudos.

Inicialmente, deveremos definir uma circunferência, em especial, sobre a qual interpretaremos as nossas já conhecidas razões trigonométricas.

Tal circunferência recebe o nome de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.

Imaginemos, primeiramente, um sistema de coordenadas cartesianas, como indicado na figura 1.

(figura 1)

Nos eixos r e s, perpendiculares entre si, cada ponto corresponde a um número real e vice-versa: cada número real tem um ponto associado em cada uma das retas. À interseção dos eixos faremos corresponder o número zero, tanto para o eixo r, das abscissas, como para o eixo s, das ordenadas, constituindo o que chamamos de origem dos eixos coordenados.

Assim, qualquer ponto do plano determinado pode ser representado por um par de números reais, a que chamamos de par ordenado. O ponto P, na figura, terá então as coordenadas (a, b), sendo a a abscissa de P e b a sua ordenada.

Na figura 2, fazemos surgir o ciclo trigonométrico, com centro na origem dos eixos e raio unitário.

(figura 2)

Como consequência, os pontos de interseção da circunferência com o par de eixos, indicados na figura por A, B, C e D, terão coordenadas dadas respectivamente por (1, 0), (0, 1), (_ 1, 0) e (0, _ 1).

Esses pontos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, aos quais damos o nome de quadrantes, numerados a partir de A no sentido anti-horário.

Por convenção, A, B, C e D são apenas limitadores dos quadrantes, não pertencendo a nenhum deles. Por exemplo, D é ponto que separa 3º do 4º quadrantes, mas não lhes pertence.

2. Números Reais no Ciclo Trigonométrico

 

Vamos associar a cada número real x um ponto do ciclo trigonométrico, de tal forma que:

_ o ponto A esteja associado ao número x = 0;

_ um número real x seja associado a um ponto P, tal que o comprimento do arco seja igual a | x |;

_ se x > 0, o arco será determinado, sobre o ciclo, no sentido anti-horário; se x < 0, o arco será

definido no sentido horário, como indicamos na figura 3.

(figura 3)

O ponto P, determinado de acordo com o que apresentamos acima, associado a um número real x, é denominado de imagem de x no ciclo trigonométrico.

Lembremos que o comprimento da circunferência trigonométrica pode ser calculado por C = 2R, sendo R o seu raio.

Como ele tem por medida uma unidade, o comprimento do ciclo trigonométrico será igual, portanto, a 2 unidades. Como decorrência, temos que:

_ um arco de uma volta (ou de medida 2 rad) terá comprimento 2 unidades;

_ um arco de comprimento |x|, no ciclo trigonométrico, terá medida |x| rad.

Assim, a medida de um arco , sobre o ciclo trigonométrico, é igual ao módulo do número real x do qual P é a imagem.

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SOBRE O AUTOR

 

Fernando César Garcia da Costa, aluno do 4o ano do Curso de Licenciatura em Ciências Exatas - USP-São Carlos (SP)

 

Disciplina de Instrumentação para o Ensino do Prof. Dietrich Schiel.

 

São Carlos (SP), maio de 1999

 

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