segunda-feira, 17 de agosto de 2009

PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE LIMITES

 

PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE LIMITES

sua história e aplicação

Profº Raul Enrique Cuore Cuore

Resumo

As propriedades dos limites não poderão ser abordadas pura e simplesmente. É essencial que para explicá-las nos aventuremos também num pouco da historia deste ramo tão interessante da matemática. Por fim citaremos algumas das aplicações dos limites, especificamente na área da Física. Não é a intenção deste trabalho se aprofundar nem se estender sobremaneira no tema, mais apenas apresentar uma visão geral sobre os limites na matemática.

 

<!--[if !supportLists]-->1         <!--[endif]-->introdução

Os Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo - derivadas, continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro.

Neste trabalho vamos expor o conceito de limite e suas propriedades, porém é importante fazer uma resenha histórica sobre este tema tão interessante.

<!--[if !supportLists]-->2         <!--[endif]-->A HISTÓRIA DOS LIMITES

Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.

Já Arquimedes (287--212 a.C.) para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.

Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704). Já René de Sluse (1622--1685) inventou um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi.

No século XIX, Augustin Louis Cauchy estava procurando uma exposição rigorosamente correta do Cálculo para apresentar a seus estudantes de engenharia na École Polytechnique de Paris. Conforme nos relata KAPLAN (1972);

"Cauchy começou seu curso com uma definição moderna de limite. Em suas notas de aula, Cauchy usou o limite como a base para a introdução precisa do conceito de continuidade e de convergência, de derivada, de integral. Entretanto, para Cauchy tinham passado despercebidos alguns dos detalhes técnicos."

Entre 1840 e 1850, enquanto era professor da High School, Karl Weierstrass determinou que a primeira etapa para corrigir esses erros deveria começar pela definição de limite de Cauchy em termos aritméticos estritos, usando-se somente valores absolutos e desigualdades.

O Cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física clássica e até a física moderna. Então podemos dizer que o Cálculo, e dentro desta disciplina, os limites foram desenvolvidos por vários matemáticos ao mesmo tempo, não podendo atribuir-lhe uma única paternidade.

<!--[if !supportLists]-->3         <!--[endif]-->CONCEITO  DE LIMITE

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

<!--[if !supportLists]-->3.1         <!--[endif]-->conceito formal de limite

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente a) e seja A um número real.

A expressão  significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . ou, usando a notação simbólica: Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:

FIGURA 1 – CONCEITO DE LIMITE

FONTE: WIKIPÉDIA."Conceito formal de limite", acessado em 10/05/2009.

<!--[if !supportLists]-->4         <!--[endif]-->PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

Podemos estabelecer as seguintes propriedades operatórias para os limites:

Propriedade 1 – Limite da soma (subtração) de duas ou mais funções - Será a soma dos limites de cada função.

 

Propriedade 2 - Limite do produto de duas ou mais funções - Será o produto dos limites de cada função.

 

 

Propriedade 3 – Limite do quociente - Será quociente entre os limites de cada função.

 

 

 

 

 

Propriedade 4 - Limite do produto de uma constante por uma função - Será o produto da constante pelo limite da função. Seja uma constante.

 

 

Propriedade 5 - Limite da potência - Será a potência do limite.

 

 

 

 

Propriedade 6 - Limite da raiz - Será a raiz do limite.

 

 

 

Propriedade 7 - Limite do logaritmo de uma função - Será o logaritmo do limite da função.

 

 

<!--[if !supportLists]-->5         <!--[endif]-->Algumas Aplicações de limites

É importante citar algumas das aplicações dos limites nos diversos campos da ciência e tecnologia. Dentro da Física são inúmeras as aplicações dos limites, porém serão apresentados somente alguns exemplos através de exercícios para assim tornar mais ilustrativa a nossa explanação.

<!--[if !supportLists]-->5.1         <!--[endif]-->LIMITES APLICADOS À FÍSICA – QUEDA LIVRE

Um corpo em queda-livre, a partir do repouso, percorre uma distância "s" que varia com o tempo segundo a equação s = 4,9 t² (d em metros, t em segundos).

a) Calcule a taxa de variação média de d em relação a t entre t1 e t2 nos seguintes intervalos: (1s; 1,5s); (1s; 1,3s); (1s; 1,1s)

b) Calcule a velocidade no instante t = 1s.

Para a função s = f(t), sabemos que a velocidade média ou a taxa média de variação da função é dada por: , t2 ≠ t1.

Fazendo t2 – t1 = ∆t → t2 = t1 + ∆t, ficamos com:  , assim, a velocidade instantânea no instante t1 é dada por:

a) no intervalo (1s; 1,5s) temos:

No intervalo (1s; 1,3s) tem-se:

No intervalo (1s; 1,1s) tem-se:

b) Em t = 1s:

 

<!--[if !supportLists]-->5.2         <!--[endif]-->LIMITES APLICADOS À FISICA - ELETRICIDADE

Aplicando o limite na lei de Ohm na teoria da eletricidade, temos que I = V/R, onde R é a resistência (em ohms) de um condutor, V é a diferença de potencial (em volts) através de um condutor e I é a corrente (em ampères) que passa pelo condutor. A resistência de certas ligas tende para o zero quando a temperatura se aproxima do 0 Kelvin (-273 °C), e a liga se torna um supercondutor de corrente elétrica. Se a tensão V é fixa, então, para esse supercondutor.

Isto é, a corrente aumenta sem limite. Os supercondutores permitem que grandes correntes sejam usadas em usinas e geradores ou motores. Eles têm aplicação no transporte terrestre a alta velocidade, no qual o forte campo magnético produzido por magnetos supercondutores permite que os trens balas levitem, não havendo atrito entre as rodas e os trilhos. Possivelmente a utilização mais importante para os supercondutores está nos circuitos para computadores, porque esses circuitos produzem pouquíssimo calor.

<!--[if !supportLists]-->5.3         <!--[endif]-->LIMITES APLICADOS À FISICA – TEORIA DA RELATIVIDADE

Aplicando o limite na teoria da relatividade, na fórmula de contração de Lorentz , especifica a relação entre o comprimento L de um objeto que se move a uma velocidade v com respeito a um observador e seu comprimento (Lo) em repouso, sendo c a velocidade da luz. A fórmula implica que o comprimento do objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando está em repouso. Portanto;

                       

sendo que v→c− (v tende a c pela esquerda), pois não existe velocidade maior que o da luz, ou seja, se  (v tende a c pela direita) v seria maior que a velocidade da luz.

<!--[if !supportLists]-->6         <!--[endif]-->A importância da introdução ao  cálculo no ensino médio

            Considerando a disciplina de Matemática, resultados de avaliações institucionais como o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), promovidos pelo Governo Federal, revelam que muitos alunos terminam o Ensino Médio com dificuldades em conceitos e procedimentos fundamentais, tais como operar com números reais, interpretar gráficos e tabelas, dentre outras coisas. Ao ingressar no Ensino Superior, esses alunos defrontam-se com a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, disciplina esta que tem um alto índice de reprovação.

Surge, assim, a seguinte questão: "Por que não preparar esses alunos no Ensino Médio, com a inclusão de conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, com estratégias que contemplem a interdisciplinaridade e tornem mais amplo o aprendizado dos conteúdos?" Atualmente, alguns livros didáticos do Ensino Médio apresentam tópicos relativos ao Cálculo Diferencial e Integral, como limite, derivada e integral. Entretanto, esses temas, na maioria das vezes, não são ensinados sob o pretexto de serem difíceis e impróprios a esse segmento da educação, devendo ficar restritos ao ensino superior. Assim sendo, o Cálculo faz parte do livro didático, mas não do currículo do Ensino Médio.

            Segundo Ávila (2006), "...a idéia de que os programas de matemática são extensos e não comportariam a inclusão do cálculo é um equívoco. Os atuais programas estão, isto sim, mal estruturados" . Introduzir o conceito, por exemplo, de limite e derivada no Ensino Médio não torna o programa relativo a funções mais longo, como pode parecer a princípio. Pelo contrário, a compreensão de algumas propriedades se dá de maneira mais natural e contextualizada.

<!--[if !supportLists]-->7         <!--[endif]-->Conclusão

Muitos acreditam que contratando professores que conhecem Libras os profissionais intérpretes poderão ser substituídos. Esse é um grande erro de avaliação. Os procedimentos técnicos são completamente diferentes. Por isso foram definidas as funções comunicativas e as funções pedagógicas. Mesmo que o Professor conheça muito bem a Libras ele é Educador, a não ser que tenha experiência profissional dentro da área de interpretação, mesmo assim é melhor exercê-la em momentos distintos.

<!--[if !supportLists]-->8         <!--[endif]-->referências

ÁVILA, G. Limtes e Derivadas no Ensino Médio? In: Revista do Professor de Matemática, n.60, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006, p.30-38.

KAPLAN, W., Cálculo Avançado, Volume 1, Editora da Universidade de São Paulo, São Paulo.1972.

TIPLER, P. A., Física Moderna, Guanabara Dois, R. J.,1981, pg. 88.

WILKIPÉDIA. Limites. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite. Acesso: 10/05/2009

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