terça-feira, 18 de agosto de 2009

trigon2

 

Um pouco sobre
Trigonometria 2

bugs1.gif (14120 bytes)

Nesta página poderá encontrar um pouco sobre:

1. Sinal das razões trigonométricas;
2. Razões trigonométricas dos ângulos 0º, 90º, 180º e 270º;
3. Fórmulas trigonométricas;
4. Relações entre as razões trigonométricas de:

 

Sinal das razões trigonométricas

    O sinal de uma razão trigonométrica e da sua inversa depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto P associado ao círculo trigonométrico.

wpe1F.jpg (7042 bytes)

   Temos então:

  seno co-seno tangente co-tangente
1ºQ + + + +
2ºQ + - - -
3ºQ - - + +
4ºQ - + - -

retorno.gif (15720 bytes)

Razões trigonométricas dos ângulos 0°, 90°, 180° e 270°

    Desenhemos um círculo trigonométrico e coloquemos as coordenadas dos pontos de intersecção do círculo com os eixos.

wpe1E.jpg (6827 bytes)

    Como o seno é igual à ordenada do ponto associado, o co-seno é igual à abcissa do ponto associado, é imediata a construção do quadro seguinte:

ß

ß

seno co-seno tangente co-tangente
0 0 1 0 ____
90° 1 0 ____ 0
180° 0 - 1 0 ____
270° - 1 0 ____ 0

    Se algum dos denominadores é zero, não existe a razão trigonométrica respectiva.

retorno.gif (15720 bytes)

     Fórmulas Trigonométricas

Seja ß um ângulo qualquer de lado extremidade OP.

wpe16.gif (2488 bytes)

    As coordenadas do ponto P no  referencial ortogonal de origem O são (cos ß, sen ß).
    Como o triângulo [OPP'] é o rectângulo, pelo teorema de Pitágoras podemos escrever

(sen ß)² + (cos ß)² = 1 ou mais simplesmente, sen² ß + cos² ß = 1.

Conclui-se, portanto, que, para todo o ß,

sen² ß + cos²ß=1   (Fórmula Fundamental da Trigomometria)

    Se dividirmos agora os membros da equação sen² ß + cos² ß = 1 por cos² ß,
vem:

   De modo análogo, se dividirmos agora ambos os membros da equação
       sen² ß + cos² ß = 1 por sen² ß, vem:

Demonstrámos, pois, que:

  As fórmulas trigonométricas relacionam umas razões com as outras.
  No seu conjunto, as fórmulas trigonométricas permitem conhecer todas as razões trigonométricas de um ângulo ß, conhecendo-se apenas uma delas.

retorno.gif (15720 bytes)


Relações entre as razões trigonométricas de:


   
Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as razões trigonométricas de certos ângulos:

Ângulos suplementares:
b e p - b

    Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e p - b  em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e P' são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,

wpe20.jpg (6595 bytes)

Image88.gif (1891 bytes)

 

Ângulos que diferem de p: b e p + b

 

Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e a p + b, são simétricos em relação a O.

wpe21.jpg (17560 bytes)

Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,

Ângulos simétricos:
b e - b

   Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e a - b são simétricos em relação ao eixo das abcissas.

wpe2.jpg (6154 bytes)


   Daí resulta que as abcissas de P e P' são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é,

Image86.gif (1789 bytes)

Ângulos Complementares:
b e p/2 - b

 

    Os pontos P e P'  do círculo trigonométrico, associados a b e a p/2 - b são simétricos em relação à recta de equação  y = x.

wpe3.jpg (6146 bytes)


    Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é,
Image83.gif (2104 bytes)

Ângulos que diferem de p/2: b e  p/2 + b

    Atendendo a que os pontos P'' e P' do círculo trigonométrico são simétricos em relação ao eixo das ordenadas e tendo em atenção as relações anteriores, resulta que a abcissa de P'' é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de P'' é igual à abcissa de P, isto é,

wpe4.jpg (18020 bytes)

Ângulos Complementares: b e
3p/2 - b

Facilmente se conclui que:

Ângulos que diferem de 3p/2: b e 3p/2 + b

wpe5.jpg (17565 bytes)

Facilmente se conclui que:

retorno.gif (15720 bytes)

 

BOTAO_TRAS.GIF (1307 bytes)                 BOTAO_FRENTE.GIF (1317 bytes)

Sem comentários:

Enviar um comentário