sexta-feira, 18 de setembro de 2009

Nota Historica sobre Funções

 

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     Na antiguidade não existia uma ideia geral de funcionalidade. As tabelas sexagesimais de inversos, de quadrados, de cubos, dos babilónios, as tábuas com os comprimentos das cordas de uma circunferência de raio fixo, dos alexandrinos, exprimem relações importantes entre conjuntos finitos de quantidades constantes tomadas isoladamente e sem ideia de dependência.
     Nas escolas de Oxford e Paris a Matemática era considerada como um instrumento privilegiado para estudar os fenómenos naturais e tentaram quantificar certas qualidades ou fenómenos como o calor, a velocidade, a densidade, conferindo-lhes graus de intensidade que variavam continuamente dentro de certos limites.
     As leis da natureza começam a ser vistas como leis do tipo funcional na medida que envolvem a ideia de que o espaço, a velocidade, a aceleração de um corpo podem variar com o tempo, são funções do tempo.
     Oresme (1323-1382), da escola de Paris dizia: « cada coisa mensurável, à excepção dos números, é imaginada como uma quantidade contínua além disso mostra estar na posse da ideia de função e de representação gráfica de uma função.


    A função invade a Matemática...


     Dois factores são decisivos no estudo e na evolução da noção de função:
    A criação de Álgebra literal simbólica que torna operacional o uso de fórmulas.
    A concepção da Matemática como linguagem que exprime as realidades físicas da Natureza.


    Leibniz (1646-1716), ao analisar uma curva, à procura de extremos usou a palavra função no sentido que ainda hoje é dado. Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usado por Euler (1707-1783) que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas

wpe73.jpg (10542 bytes)      Napier nasceu na Torre de Merchiston, em  Inglaterra, que se encontra actualmente no centro do recinto da Universidade Napier, em Merchiston, em 1550. Aos 13 anos foi para St. Andrews, estudar durante dois anos no Colégio St. Salvator . Pensa-se que viajou pela Europa entre 1566 e 1571, talvez para estudar em Paris ou na Holanda, mas não existem provas disso.
     Casou por duas vezes, tendo tido doze filhos, e morreu em Abril de 1617, sendo enterrado na Igreja St. Cuthbert, em Edinburgo.

     Durante a sua vida foi conhecido como o Marvellous Merchiston, pelo seu génio e pela sua visão imaginativa numa série de campos de estudo, como a Matemática e a Agricultura. Entre outras obras, publicou o Rabdologiae, um pequeno estudo sobre um método simples para efectuar multiplicações. Em apêndice explicava como efectuar multiplicações e divisões usando placas de metal – a primeira forma de cálculo mecânico, que teria originado a calculadora.

     Napier é por vezes descrito como um mago, e muitas histórias são contadas sobre as suas actividades sobrenaturais. É dito que tinha um galo negro, que acreditava ter o espírito de um seu familiar.

     Napier pode ser colocado na mesma linha de teóricos matemáticos de Arquimedes, Newton e Einstein, tendo o seu trabalho sobre logaritmos sido publicado no Mirifici Logarithmorum Canonis Description.

     A grande maioria da sua vida permanece, ainda hoje, um mistério.

 

wpe6E.jpg (15156 bytes)      Gottfried Wilhelm Von Leibniz  nasceu a 1 de Julho de 1646 em Leipzig, na Saxónia (actual Alemanha) e faleceu a 14 de Novembro de 1716 em Hannover, Hanover (actual Alemanha). Em Paris, a partir de Outubro de 1672 Leibniz estudou matemática e física com Christian Huygens. A conselho deste, Leibniz leu a obra de São Vicente sobre soma de séries e fez ele próprio, algumas descobertas nesta área. Também nesse Outono, Leibniz ficou encarregue de orientar os estudos do filho de Boineburg, o que lhe assegurou estabilidade financeira.
     Em Janeiro de 1673 Leibniz viajou para Londres, acompanhado do sobrinho de Boineburg, numa missão de paz. Visitou a Real Sociedade onde apresentou a sua, ainda em construção, máquina de calcular. Ao voltar para Paris e após ter tido contacto com outros matemáticos com Hooke, Boyle e Pell, Leibniz apercebeu-se que os seus conhecimentos matemáticos eram bastante menos apurados do que ele esperava e, portanto, redobrou esforços neste assunto. A 19 de Abril de 1673 Leibniz foi eleito membro da Real Sociedade de Londres. Encontrou-se com Ozanam e Huygens, que lhe forneceu uma lista de livros a ler, entre os quais se encontravam trabalhos de Pascal, Descartes, São Vicente, entre outros. Assim, Leibniz começou a estudar a geometria dos infinitesimais.

     A 21 de Novembro de 1675, Leibniz escreveu um manuscrito onde usou, pela primeira vez, a notação actual de integral e apresentou a regra para a derivada do produto. No seu Cálculo Diferencial, Leibniz incluiu a regra para derivar uma função de uma função. O trabalho de Leibniz, como argumentou Newton, não resolveu nenhum problema que estivesse por resolver, mas o formalismo que o acompanhava provou ser de extrema importância no desenvolvimento posterior do Cálculo. No entanto, Leibniz nunca pensou na derivada como um limite; esta ideia só surgiu com o trabalho de Alembert.

     Outros dos grandes feitos matemáticos de Leibniz foi o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento do sistema binário, que completou em 1679 mas que só publicou em 1701, no artigo "Essay d'une nouvelle science des nombres". Outro grande trabalho matemático que Leibniz empreendeu foi o seu estudo sobre determinantes, que surgiu a partir dos seus métodos para a resolução de sistemas de equações lineares. Ele não chegou a publicar este trabalho, mas um artigo não publicado, datado de 22 de Janeiro de 1684, contém resultados, notações e abordagens muito satisfatórias acerca deste assunto.

 

wpe72.jpg (10180 bytes) Leonhard Euler nasceu a 15 de Abril de 1707 em Basel, na Suíça, e morreu a 18 de Setembro de 1783 em São Petersburgo, na Rússia. Leonhard foi estudar para a escola em Basel e, durante esse tempo, viveu com a sua avó materna. Esta escola era muito pobre a todos os níveis e Euler não aprendeu matemática alguma enquanto a frequentou. No entanto, o seu interesse pela Matemática, despertado pelos ensinamentos do seu pai, nunca foi esquecido e, por iniciativa própria, ele leu vários textos de matemática e frequentou
aulas privadas. Dois anos após a mulher de Pedro o Grande, Catarina I, ter fundado a Academia de Ciências de S.Petersburgo, Euler tornou-se membro desta academia.

     Através de pedido de Daniel Bernoulli e de Jakob Hermann, Euler passou a fazer parte da divisão de matemática-física, em vez do posto de fisiologia que lhe tinha sido oferecido. Em 1733 Euler foi nomeado para professor regente da cadeira de matemática na academia - lugar ocupado até então por Daniel Bernoulli até este ter deixado S. Petersburgo para voltar para Basel. A publicação de vários artigos e do seu livro "Mechanicas" (1736 - 37), que apresentava dinâmicas newtorianas pela primeira vez na forma de análise matemática, iniciou Euler no percurso do seu melhor trabalho matemático.

     Deixou S. Petersburgo em 19 de Junho 1741 e chegou a Berlim a 25 de Julho (a convite de Frederico o Grande). Durante os vinte e cinco anos que passou em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos. Escreveu livros sobre o cálculo de variações, o cálculo das órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, análise, construção de navios e navegação, movimento da lua, cálculo diferencial e a famosa publicação científica "Cartas para uma Princesa da Alemanha" (3 volumes, 1768 - 72).

     Após a sua morte, em 1773, a Academia de S. Petersburgo continuou a publicar o trabalho de Euler durante, aproximadamente, 50 anos. O trabalho de Euler na matemática é tão vasto que é apenas possível dar uma ideia superficial dele. Ele foi o matemático mais produtivo de todos os tempos. A ele se devem grandes avanços no estudo da geometria analítica moderna e na trignometria, onde foi o primeiro a ter em conta as noções de seno e coseno,etc, em vez das cordas como Ptolomeu tinha considerado. Ele fez contribuições decisivas para a geometria, cálculo e teoria dos números. Euler integrou cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton na análise matemática. Introduziu as funções Beta e Gama e factores de integração para equações diferenciais. Estudou mecânica contínua, teoria lunar, o problema dos três corpos, elasticidade, acústica, a teoria das ondas de luz, hidráulica e música. A Euler devemos a notação f(x) para função (1734), e para base de logaritmos naturais (1727), i para a raíz quadrada de -1 (1777), para pi, para somatório (1755), entre muitos outros.

 

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