sexta-feira, 18 de Setembro de 2009

Tipos de Funções (ICM)

 

Tipos de Funções

    Vamos agora fazer um breve resumo das características principais dalguns dos tipos mais estudados a nível do ensino secundário. Vamos focar a função exponencial, a função logarítmica e funções polinomiais do segundo grau.

Função Exponencial

     A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência a base é constante e o expoente é uma variável.

     Chamamos exponencial de base b > 0 à função

R R

de maneira que temos:

 

ou então:

ou ainda:

     Vejamos as principais características da função exponencial:

     1.   f é contínua, o seu domínio é R e o seu contradomínio é ;

     2.    f é crescente se b > 1 e é decrescente se b < 1;

     3.   f (0) = 1 e f (1) = b;

     4.  Os gráficos de

   e de

    

  são simétricos em relação ao eixo OY;

     Como exemplo, observemos os gráficos seguintes:

     5.  Os limites de qualquer função exponencial são:

     Estes limites também serão diferentes conforme os valores de b. Observemos os seguintes gráficos, onde encontramos funções cujo valor de b é maior do que 1 ou está compreendido entre 0 e 1, e vejamos como se comporta cada tipo de função quando os valores de x aumentam ou diminuem:

 

 

    No primeiro gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função tomará valores cada vez maiores. Se o valor de x diminuir cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0, sempre pelo lado positivo do eixo OY.

    No segundo gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0 pelo lado positivo do eixo OY. Se o valor de x diminuir a função assume valores cada vez maiores.

wpe3E.jpg (955 bytes)

Função Logarítmica

     A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. No logaritmo a base é constante e o valor de x é o termo variável.

     Chamamos logaritmo de base b > 0 à função:

 

de maneira que:

ou então:

     Podemos definir a função logaritmo como a função inversa da função exponencial, sempre que b > 1. Os gráficos destas funções são simétricos em relação à bissectriz   y = x, como podemos ver na figura:

  

Observando o gráfico da função logarítmica, verificamos que as principais características deste tipo de funções serão:

      1.  Sobre o eixo X existem três regiões ou espaços diferentes:

            

      onde a função logarítmica não está definida,

      onde o logaritmo é negativo,

      onde o logaritmo tem um valor positivo;

    2.  A função é contínua e crescente;

    3.  O seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e o seu conjunto de imagens é o conjunto de todos os números reais;

    4.  O logaritmo de 1 na base b é igual a 0;

    5. Se o valor de x se aproximar de zero pelo lado positivo do eixo OY, a função assume valores cada vez mais pequenos, ou seja:

        Se o valor de x aumentar cada vez mais a função assumirá valores cada vez maiores, isto é:

 

     Os logaritmos podem também definir-se de forma mais "aritmética", de forma a facilitar o seu cálculo. Temos que o logaritmo de um número numa base b > 1 é o expoente a que se tem de elevar a base para obter o número, isto é,

 

     Por último, vamos enunciar algumas das propriedades algébricas particulares dos logaritmos:

    1.  Logaritmo de um produto:

    2.  Logaritmo de um quociente:

    3.  Logaritmo de uma potência:

    4.  Logaritmo de uma raíz:

    5.  Mudança de base de logaritmos:

wpe3F.jpg (955 bytes)

 

Funções Polinomiais do Segundo Grau

     Uma função polinomial de segundo grau é uma função expressa por um polinómio de segundo grau, ou seja, com uma expressão da forma:

f(x) = ax² + bx + c,

onde a é não nulo. Estas são sempre funções contínuas.

     Da mesma maneira que os polinómios podem ser completos ou incompletos, temos funções do segundo grau incompletas. Vamos estudar em pormenor cada um desses casos.

    1.  Função incompleta y = ax²:

Podemos observar que:

   -  A curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas;

   -  Tem um mínimo absoluto no ponto (0,0), que é o vértice da função;

   -  O sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:

      · a > 0: a parábola abre-se para valores de y positivos

       · a < 0: a parábola abre-se para valores de y negativos

    -  O valor absoluto de a determina a abertura da função, ou seja, quanto maior           for |a| mais fechada é a parábola.

        2.   Função incompleta y = ax²+c:

     O gráfico da função y = ax²+c transladando c unidades, na direcção do eixo OY, o gráfico y = ax², ou seja, aplicando a translação segundo o vector (0,c).

Observando as imagens, vemos que estas funções têm as seguintes características:

   -  O seu eixo de simetria é o eixo OY;

   -  São funções simétricas em relação ao eixo OY;

   -  Para a > 0 o gráfico abre-se para as coordenadas positivas. Para a < 0 o gráfico abre-se para as coordenadas negativas;

   -  O vértice da parábola é o ponto V(0,c);

   -  O gráfico desloca-se verticalmente em função de c.

 

 

 

    3.  Função completa y = ax² + bx + c:

    Estas, geralmente, podem expressar-se da forma             f(x) = a (x - h)², que é uma translação horizontal sobre o eixo OX da função y = ax². Em geral, os gráficos das funções     f(x) = (x - h)² são idênticos a f(x) = x², mas com vértice em (h,0). Estas funções obedecem aos mesmos critérios que f(x) = ax², com a diferença de que o eixo de simetria passa pelo vértice (h,0) e é paralelo ao eixo das ordenadas. Como exemplo, observemos a figura seguinte: wpe74.jpg (13573 bytes)

     Nos casos em que a função f(x) = ax² + bx + c não puder expressar-se nesta forma, temos que tentar escrevê-la na forma f(x) = a (x - h)² + k. Estas continuam a obedecer aos mesmos critérios gerais, com as excepções:

    -  O vértice encontra-se no ponto (h,k);

    -  O eixo de simetria da parábola é a recta que passa pelo vértice (h,k) e é paralela ao eixo das ordenadas.

 

wpe40.jpg (955 bytes)

wpe44.jpg (1416 bytes)wpe53.jpg (1433 bytes)

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