sábado, 12 de Setembro de 2009

Trigonometria - Brasil Escola

 
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A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.

Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Artigos de Trigonometria

Ângulos Notáveis

O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.

Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.


Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas:

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Veja mais!

Trigonometria em um triângulo qualquer
Lei do senos e Lei dos cossenos.

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Aplicações Trigonométricas na Física

As aplicações das definições matemáticas são primordiais nos estudos físicos, pois através de cálculos obtemos comprovações para as teorias relacionadas à Física. As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente estão presentes em diversos ramos da Física, auxiliando nos cálculos relacionados à Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessa forma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo único de fornecer conhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas. Veja através de exemplos resolvidos as aplicações da Matemática na Física.

Exemplo 1 – Dinâmica

Fórmula que permite calcular o trabalho da força F no deslocamento d de um corpo:
τ = F * d * cos Ө

Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade √3/3 num percurso de 2m, de acordo com a ilustração, considerando que a superfície seja lisa. Use seno 30º = √3/2.


Exemplo 2 - Cinemática: Lançamento Oblíquo

A altura máxima atingida, o tempo de subida e o alcance horizontal são alguns dos elementos que constituem um lançamento oblíquo. De acordo com o ângulo formado entre o lançamento e a superfície o corpo, pode percorrer diferentes trajetórias. Caso a inclinação (ângulo) aumente, o objeto logicamente atinge uma altura mais elevada e um alcance horizontal menor; se o ângulo de inclinação diminui, a altura também diminui e o alcance horizontal se torna maior.


Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 100m/s com uma inclinação de 30º. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal do objeto. Considere g = 10m/s².

Tempo de subida


Altura máxima

Alcance horizontal

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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Arcos com Mais de uma Volta

Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de acordo com a ilustração a seguir:


Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:

1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.
2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.

Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.

Exemplo 1
Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.

4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.

Exemplo 2
Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?

1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.


Arcos Côngruos

Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.

Exemplo 3
Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.

8390º – 6230º = 2160
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.

Exemplo 4
Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.

2010º – 900º = 1110º
1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente estão associadas ao triângulo retângulo e às relações entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são constituídas de acordo com as seguintes razões:

seno

cosseno

tangente


Essas razões trigonométricas possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente.

A inversa do seno é a cossecante (cossec).


A inversa do cosseno é a secante (sec).

A inversa da tangente é a cotangente (cotg).



As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintes expressões:

cossecante

secante

cotangente

O conhecimento das razões trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligados às relações fundamentais entre as funções de um mesmo arco, relações derivadas e ao desenvolvimento das identidades trigonométricas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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As razões recíprocas do seno, do co-seno e da tangente

O cálculo das funções trigonométricas seno, co-seno, tangente é encontrado levando em consideração um triângulo retângulo que possui uma hipotenusa e dois catetos, assim:

Sen x = cateto oposto ao ângulo x
                        Hipotenusa

Cos x = cateto adjacente ao ângulo x
                            Hipotenusa

Tg x = cateto oposto ao ângulo x
            cateto adjacente ao ângulo x

Invertendo cada uma das funções trigonométricas (razões trigonométricas) citadas acima, será possível encontrar as suas recíprocas, que serão nomeadas como:

• A recíproca do seno é co-secante (cossec) 
Cossec x = Hipotenusa
                      cateto oposto ao ângulo x

• A recíproca do co-seno é secante (sec)
Sec x = Hipotenusa
              cateto adjacente ao ângulo x

• A recíproca da tangente é co-tangente (cotg)
Cotg x = cateto adjacente ao ângulo x
                cateto oposto ao ângulo x

Como essas recíprocas são razões inversas às razões seno, co-seno e tangente, elas devem ser indicadas da seguinte forma:

Cossec x = 1
                    Sen x

Sec x = 1
            Cos x

Cotg x = 1     =    cos x
               Tg x      Sen x

 

Por Daniellde de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Calculadora Científica na Trigonometria

As calculadoras científicas possuem teclas destinadas às funções trigonométricas. Elas calculam os valores das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer ou determinam o ângulo correspondente ao valor trigonométrico.
Existem dois modelos de calculadoras científicas, uma delas apresenta a tecla MODE e a outra a tecla DRG. Demonstraremos o funcionamento da calculadora que possui a tecla MODE.

Existem equipamentos que trabalham com três unidades de medida: grau, radiano e grado. A escolha por uma das medidas é feita apertando a tecla MODE e a tecla da unidade escolhida: DEG (grau), RAD (radiano) ou GRA (grado). Utilizaremos em nossa demonstração a unidade grau, então realizaremos a seguinte operação: aperte MODE e depois DEG.

Dado um ângulo de 35º, para obtermos o valor do seu seno digitamos o valor 35 e em seguida a tecla SIN. Nesse caso aparecerá no visor o número irracional 0,5735764363510460961... . Isso significa dizer que sen35º = 0,573576... , um número irracional, pois é uma dízima não periódica.

Se optarmos pelo cosseno ou pela tangente, teclamos: 35 COS ou 35 TAN, onde teremos cos 35º = 0,819152044288991789684... e tg 35º = 0,70020753820970977945852... . Para realizarmos a operação inversa, isto é, encontrarmos o ângulo correspondente ao valor da razão trigonométrica, digitamos o valor do seno, cosseno ou tangente e apertamos as teclas SHIFT e SIN–1. Observe o exemplo:

Quais os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 9, 12 e 15 centímetros?




senα = 9/15
Tecle em sua calculadora 9 : 15 = SHIFT SIN–1
no visor aparecerá 36,87º


cosβ = 9/15
Tecle 9 : 15 = SHIFT SIN–1
no visor aparecerá 53,13º


Então as teclas SIN e SIN–1, determinam as seguintes funções:

SIN fornece o seno, o cosseno ou a tangente de acordo com o valor do ângulo
SIN–1 fornece o ângulo, de acordo com o valor da razão trigonométrica.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.





Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola




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Circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.





Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.

Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola




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Equação trigonométrica

Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma igualdade.

Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.

sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0

São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica.

x2 + sen 30° . (x + 1) = 15
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a incógnita não pertence à função trigonométrica.

Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:

sen x = sen a

cos x = cos a

tg x = tag a

Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.

Por Danielle de MIranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Equações do Tipo sen x = a

Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.

As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.

Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:



Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z

Exemplo

Resolva a equação: sen x = √3/2

Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de 60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)

Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3 ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:

Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Equações e Inequações Trigonométricas

O que difere a equação e inequação trigonométrica das outras é que elas possuem funções trigonométricas das incógnitas.

Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.

►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não é trigonométrica.
sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funções trigonométricas.

x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funções trigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funções trigonométricas.

►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não é trigonométrica por que possui funções trigonométricas.

sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de uma incógnita.

(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é uma função da incógnita.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola 

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Fórmulas de adição de arcos

Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte propriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

cos (π + π) = cos (2π + π) = cos () = cos 270º = 0
                2                    2                      2

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0
                2                            2

Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:

Exemplo 2:

cos (π + π) = cos () = cos 270º = 0 
         3     3                 3

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1 
         3     3             3             3

Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valor que x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:

sen(x + y) = sen x + sen y
sen (x – y) = sen x -sen y
cos (x + y) = cos x + cos y
cos(x - y) = cos x + cos y
tg(x + y) = tg x + tg y
tg(x - y) = tg x + tg y


São igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim veja as verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno e tangente.

• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x

• sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x

• cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y

• cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y

• tg (x + y) = tg x + tg y
                  1 – tg x . tg y

• tg (x - y) = tg x - tg y 
                  1 + tg x . tg y

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Função trigonométrica do arco metade

O cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula do cosseno do arco duplo (cos 2β = cos2 β – sen2 β) e a relação fundamental da trigonometria (sen2 β + cos2 β = 1).

Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.

• Cos (x/2).

Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:

cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x =2cos2 (x/2) – 1

Isolando cos2 (x/2), teremos:

cos2 (x/2) = cos x + 1
                            2

Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:



• Sen x/2

Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:

cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)

Isolando sen2 (x/2), teremos:

sen2 (x/2) = 1 - cos x
                           2

Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:


• Tg (x/2)

Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que: 
                                     cos β


Tg (x/2) = sen (x/2).
                  cos (x/2)

Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:

 

Por Danielle de MIranda
Graduada em Matemática
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Funções Trigonométricas

Função Seno

Chama-se função seno a função definida de R em R por f (x) = sen x. Para analisar a função seno, podemos observar a extremidade de um arco percorrendo a circunferência trigonométrica no sentido anti-horário.

Função do Tipo f(x) = α sem (ax)




Função Cosseno

É a função definida de R em R por f (x) = cos x

Função tangente

Função tangente é a função definida para x ≠ π/2 + kπ, k pertencendo a Z por f (x) = tg x. Enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a 2π, a função tangente tem período igual a π.

Função Cotangente, Secante e Cossecante

O período da função cotangente é igual a π. f(x) = cotg x

O período da função secante é igual a 2π.





O período da função cossecante é igual a 2π.

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Funções trigonométricas do arco duplo

Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:

Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2, portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.

De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β, portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.

Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.

Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja como:

• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:

cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β

Unindo os termos semelhantes teremos:

cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β

Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:

cos 2β = cos2 β – sen2 β

• Sen 2β

Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:

Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β

Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:

Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β

Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:

Sen 2β = 2 . sen β . cos β

• tg 2β

Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β 
                                1 – tg x . tg β

Unindo os termos semelhantes teremos:

tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
                                1 – tg2β

Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:

tg 2β = 2 tgβ 
           1 – tg2β

 

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Identificando os Quadrantes do Ciclo Trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, identificados de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A.

Considerando x a medida de um arco no ciclo trigonométrico, então os valores de x, tais que 0º < x < 360º, estão presentes nos seguintes quadrantes:


Primeiro quadrante: 0º < x < 90º


Segundo quadrante: 90º < x < 180º

Terceiro quadrante: 180º < x < 270º

Quarto quadrante: 270º < x < 360º


Os valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2π

Primeiro quadrante: 0 < x < π/2

Segundo quadrante: π/2 < x < π

Terceiro quadrante: π < x < 3π/2

Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2π

É importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construção dos arcos trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. Por exemplo:

O arco de medida π/6 rad ou 30º está localizado no 1º quadrante.

O arco de medida 3π/4 rad ou 135º está localizado no 2º quadrante.

O arco de medida 7π/6 rad ou 210º está localizado no 3º quadrante.

O arco de medida 5π/3 rad ou 300º está localizado no 4º quadrante.

O arco de medida π/3rad ou 60º está localizado no 1º quadrante.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil
Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola

Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

Exemplo 1

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x' = 8 e x" = – 5, por se tratar de medidas descartamos x" = –5 e utilizamos x' = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 2

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.




Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.


Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60º
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola

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