segunda-feira, 7 de setembro de 2009

TRIGONOMETRIA

 

" Esse monstro "

Hit Counter
 
    
 
ÍNDICE
Pôr do Sol Trigonométrico
Oscila a onda
Baixa a maré
Vem o pôr do sol
A noite cai
O pêndulo marca a hora
Chega a onda sonora  
Os fenómenos sucedem-se em ritmos amenos
Os ciclos repetem-se com simetria
O cientista estudou
E tudo são senos e co-senos
Da trigonometria
Maria Augusta Ferreira Neves

 

Interdisciplinariedade Ciências - Matemática

ICM

  

   A página Trigonometria foi realizada no âmbito da disciplina ICM, pelas alunas Ana Raquel Pereira, Carla Ferreira e Tânia Fernandes, do 4º ano do curso de Ensino de Matemática da F.C.U.L. do ano lectivo 2000/01.

 

   Escolhemos este tema por se tratar de um capítulo da matemática onde os alunos sentem algumas dificuldades. Deste modo, tentámos fornecer material de apoio e propostas a utilizar quer na sala de aula quer no exterior.

 

   Optámos por excluir a parte relativa às funções trigonométricas para não correr o risco da página se tornar muito extensa. 

 

   Aos professores, e futuros professores de Matemática, sugerimos algumas formas de demonstrar certos conceitos, exercícios e actividades, de forma a motivar os alunos.

 

   Esperemos que visitem esta página e que a aproveitem para melhor compreenderem este "Monstro" da Matemática que é a Trigonometria.

 

   Este é o Professor José Varandas.

   Foi ele que nos incentivou, dando todo o apoio para a realização deste pequeno projecto.

 

     

    

     

                                           

 

Um Pouco de História...

 

    A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulo e METRIEN - medida, significando  Medida de Triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.  

    A origem da Trigonometria é anterior à era cristã.

    Apesar dos egípcios e dos babilónios terem já utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi o fascínio pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria aparece bastante cedo associada à Astronomia.

    No séc. V a.C.,  estudaram-se relações entre arcos de circunferência e respectivas cordas, um passo importante para a Trigonometria.

    A palavra corda, quando usada em Matemática, refere-se a segmento de recta que une dois pontos situados sobre um círculo

Arquimedes
    No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa na sequência do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.  

 

    As medições e os resultados dos cálculos efectuados pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.

    A função corda foi a única função trigonométrica introduzida por Hiparcus no séc. II a.C.. E repare-se como é semelhante à função seno: corda(A)=2rsen(A/2), sendo r o raio do círculo e A um ângulo de vértice no centro do círculo para expressar os valores da função corda. O valor da corda depende do raio do círculo usado, esse círculo era o que circunscrevia o triângulo a resolver. Actualmente, usa-se o seno em vez de corda, apesar de estas serem talvez mais intuitivas. Foi construída usando como medida os degraus, cada degrau correspondia a 1/24 avos de um círculo.

Hiparcus    

    É a Hiparcus de Nicaea (séc. II a.C.) que se atribuem as primeiras tábuas trigonométricas sendo considerado o pai da Trigonometria.  
    Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.

 

        Ptolomeu
ptolemySmall.gif (28686 bytes)     Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes trouxeram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.  

 

 

    A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.

Muller    

      Na Europa medieval, devido a razões político - religiosas, a Ciência poucoevoluiu. É no séc. XV com Johannes Muller Regiomontano,e o seu trabalho De Triangulis Omnimodis Libri Quinque, a Trigonometria liberta-se da Astronomia.  
    Viète
    O recurso sistemático ao círculo trigonométrico e a     aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.
    Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar sistematicamente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.  

    A Trigonometria necessita da Aritmética para estabelecer as tabelas, da Álgebra para estabelecer as fórmulas, e da Geometria, embora tenha tido um desenvolvimento mais tardio que esta.

    Em particular, o que distingue a trigonometria da restante geometria, é o facto de "ela medir ângulos". Toda a geometria lida com ângulos, mas fora da trigonometria, são comparados, somados, subtraídos, não sendo normalmente medidos.

Fourier    

    O primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quandoRoberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.
    As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relaciona medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.

    Actualmente, as funções trigonométricas são definidas usando o círculo trigonométrico unitário, obviamente, isso não diminui o uso de fracções, mas a nossa notação decimal, diferente da dos gregos, torna o seu uso mais simples.

Triângulo de Pitágoras

   Pitágoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grécia.

   Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão da harmonia do universo, que se baseava nos números e nas fórmulas de matemática abstracta. Assim, Pitágoras desejava encontrar a "harmonia matemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos os ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos rectos.

  Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinha sido descoberto? É verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiu provar matematicamente.

   Pitágoras descobriu uma propriedade importante para o triângulo rectângulo (triângulo que contém um ângulo de 90º).

   Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo rectângulo: catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º e hipotenusa é o lado oposto a esse mesmo ângulo.                                       

c = hipotenusa

a = cateto

b = cateto

 

   Teorema de Pitágoras: num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.     

c² = a² + b²

    Vamos agora demonstrar o Teorema de Pitágoras.

    O que se pretende demonstrar é que: dado um triângulo rectângulo de catetos a e b e hipotenusa c (HIPÓTESE) temos c² = a² + b².

    Consideremos um quadrado de lado a + b

    O quadrilátero [ABCD] que se obtém unindo os pontos A, B, C e D é um quadrado, já que:

  • os lados são todos iguais a c pois, como se pode ver, eles são as hipotenusas de triângulos rectângulos iguais (os 4 triângulos que se obtêm ao fazermos esta decomposição são iguais pelo caso LAL).

  • os ângulos são todos rectos. Observando a figura seguinte podemos chegar a essa conclusão, visto que os ângulos 1 e 2 são complementares. Os ângulos 1 e 3 têm a mesma amplitude, visto que entre ângulos geometricamente iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, o ângulo 4 mede 90º.

    Façamos agora outra decomposição do quadrado de lado a + b. Nesta decomposição obtemos também 4 triângulos rectângulos de catetos a e b e hipotenusa c.

   Se retirarmos o que é igual às duas decomposições que fizemos do quadrado de lado a + b, obtemos:

    As áreas destas duas figuras têm de ser iguais, já que, elas resultam de decomposições do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais. 

    Logo, c² = a² + b², como queríamos demonstrar.

   Repara no seguinte exemplo:

                                 

      Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado do cateto que mede 4 é igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5:

                                        3² + 4² = 5²

   Nunca te esqueças que o Teorema de Pitágoras só é aplicado ao triângulo rectângulo.    

 

                               

    No espaço, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da diagonal de um paralelepípedo rectângulo é igual à soma dos quadrados das três dimensões das arestas.

 

Razões Trigonométricas de um Triângulo Rectângulo

    Os primeiros geómetras sabiam que o ângulo recto era um dos conceitos básicos da geometria. Euclides sabia-o também e na sua obra Elementos deu a seguinte definição: 

    "Quando uma linha recta traçada sobre outra linha recta determina ângulos adjacentes iguais entre si, cada um dos ângulos diz-se recto, e a linha recta diz-se perpendicular aquela que intersecta".

    Com base na seguinte figura,

     Pelo Teorema de Pitágoras temos que    , donde    . Ora,    e   e, portanto, 

sen² a + cos² a  = 1

Fórmula Fundamental da Trigonometria

    Dividindo a fórmula fundamental por cos²a e sabendo que 

 

temos que wpe7A.jpg (1641 bytes).

    Analogamente, dividindo por sen²a e dado que 

vem que wpe7D.jpg (1779 bytes).   

    Estas fórmulas são consideradas fórmulas básicas da trigonometria e permitem deduzir, sem recorrer ao auxílio de tabelas ou de máquinas de calcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo, desde que se conheça uma delas.

   Exemplo:

    Supor que  wpe7E.jpg (1253 bytes). . Então,   

                                                            wpe81.jpg (6216 bytes)

 Círculo Trigonométrico

  Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.

 

  Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica.

 

  Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-rectas OA e OB, o par (OA,OB) define um ângulo.

  O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-rectas OA e OB são, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade.

  Há dois sentidos de percurso num círculo:

   Ângulo positivo (ou directo) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

   Ângulo negativo (ou indirecto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.

 

  A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então ângulo orientado.

 

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

 

 

  P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico.

    O seno de é a ordenada do ponto P.

    O co-seno de é a abcissa do ponto P.

    C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das tangentes.

    A tangente de a é a ordenada do ponto C.

    D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes.

   A co-tangente de a é a abcissa do ponto C.

 

Enquadramento de seno e do co-seno

  O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico.

    Para todo o a,

                                  

 

    Para todo o a,

                                  

 

 

Redução ao 1º quadrante

  Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações trigonométricas de certos ângulos.

Ângulos do 1ª Quadrante

Ângulos Complementares: a e  90°-

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 90-a, são simétricos em relação à recta de equação y = x. 

    Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é, 

 

Ângulos do 2º Quadrante

Ângulos que diferem de 90°: a e  90° + a

  A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P, isto é,

    Ângulos Suplementares: a e  180° - a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e 180°- a, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,  

Ângulos do 3º Quadrante

Ângulos que diferem de 180º: a e  180° + a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a  180° + a, são simétricos em relação a O.

    Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é, 

 Ângulos que somados valem 270º: a e 270º - a

 

 

Ângulos do 4º Quadrante

Ângulos que diferem de 270º:  a e 270º + a

 

 

Ângulos Simétricos: a e -a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a e -a, são simétricos em relação ao eixo das abcissas.

    Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é, 

    OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja a amplitude a do ângulo (em graus ou radianos).

 

    Valores de algumas razões trigonométricas:

 

0°

30°

45°

60°

90°

sen

0

1

cos

1

0

tg

0

1

¥

cotg

¥

1

0

 

 

Fórmulas Trigonométricas

Fórmula Fundamental

                                        

Fórmulas Secundárias

Fórmulas de Adição

 

 

Fórmulas de Duplicação

 

 

Fórmulas de Bissecção

Fórmulas de Transformação

                                            

OBS.: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tomarem valores nulos.

  Problemas 

    Nesta página são apresentados alguns problemas relacionados com o triângulo rectângulo. Para os resolver aplica os teus conhecimentos de trigonometria.

  

1. Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com 20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial para a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimento no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º.

    Qual a extensão do voo da ave?

 

 

2. Qual o ângulo de elevação da Lua quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra de uma pessoa com 1,80 m mede 3 metros? 

    

3. Determina a altura do Padrão dos Descobrimentos atendendo aos dados

       a = 2º               b= 39º

    Distância do Padrão P ao aparelho

 T = 60 m.

 

 

4. De acordo com os dados da figura ao lado e sabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura, determine a distância entre a lâmpada e o topo do escadote.

 

5. O Eduardo e a Maria resolveram ir ao jardim Zoológico e combinaram encontrar-se junto aos répteis às 15 horas. Por acaso, chegaram ambos antes da hora marcada e foram dando umas voltas para fazer tempo. A Maria foi primeiro aos pássaros, passou pelo café, pelas girafas a pelos macacos antes de chegar aos répteis.  O Eduardo foi direito aos leões, passou pelas girafas e seguiu para os répteis. 

    Qual dos dois andou mais?

 

6. Em casa do Timóteo há uma sala rectangular que tem o chão coberto de quadrados de lado 10 cm. Um dos lados contém 93 quadrados e o outro 231. Timóteo traça uma linha recta unindo os dois cantos opostos.

     Quantos quadrados mede essa linha?

  

 7. Diz se são verdadeiras  ou falsas cada uma das afirmações:

    a) Num triângulo rectângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa.

    b) Num triângulo rectângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado.

    c) Num triângulo rectângulo a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado.

    d) Num triângulo rectângulo é sempre verificável o Teorema de Pitágoras.

 

8. "Num triângulo rectângulo a hipotenusa é sempre o maior dos lados".

    Diz se esta afirmação é verdadeira ou falsa e apresenta argumentos que a validem ou a refutem.

9. O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo e [BC] é perpendicular a [AC]. Completa as seguintes igualdades:    

 

 a) [AB]² + ...... = [AC]² 

 b) [AB]² = ...... + ......  

 c) [DC]² + ...... = ...... 

  

10. Resolve a seguinte equação trigonométrica:

a) wpeF.jpg (1686 bytes)
b)
c)

11. Recorrendo ao círculo trigonométrico exprime em função de sen b e cos b a seguinte expressão:

     wpe11.jpg (4110 bytes)

12. Prova que, para todo o a e b, se tem:

     wpe14.jpg (2371 bytes)

 

  13. Verifica se a bengala da figura cabe dentro da caixa.

 

  14. Uma aranha encontra-se no canto superior A de um salão rectangular, com 20 m de comprimento, 15 m de largura e 10 m de altura. Olhando ao longe, depara-se-lhe um petisco apetitoso no canto mais longínquo do salão, em G.

    Qual o comprimento de fio de teia mínimo que a aranha terá de tecer para conseguir atingir o tão desejado almoço?    

 

    

    Para responder, precisas de saber o Teorema de Pitágoras no espaço. 

    Será que és capaz de orientar a aranha até ao seu petisco?

 

Resoluções

     

RESOLUÇÕES
 1. Uma vez que nos é dado o ângulo de 35º e a medida do cateto adjacente a esse ângulo e se pretende a medida da hipotenusa, o melhor é calcular o cos 35º.
Sabemos que 
   A extensão do voo da ave é de aproximadamente 24,4 metros.

 

 

  2. O melhor é calcular o valor da tg a, uma vez que nos é dada a medida do cateto adjacente e a medida do cateto oposto.
    O ângulo é de aproximadamente 31°.

 

 

 3. Como a altura do padrão dos descobrimentos é a soma da altura a com a altura b, então determinemos esses valores.

 

 

4.  Determinemos a altura do escadote aberto
 
   Logo, a distância entre a lâmpada e o topo do escadote é, aproximadamente, 70 cm.

 

 

5.  A Maria andou 250+450+60 =760 até aos macacos. 

Dos macacos aos répteis andou x e x²=60²+130²

 donde x=143,2.

   Logo, a Maria andou  760+143,2=903,2.

   O Eduardo andou y até chegar aos leões. Ora,  y²=250²+ 250² 

donde y=353,5. 

   Depois andou z até chegar às girafas, sendo  z²=(250+335)²+300² 

donde z=657,4. 

   Logo, o Eduardo andou 353,5+657,4+130=1140,9 até chegar aos répteis.

   Como vês foi o Eduardo quem andou mais

 

 

6.  Consideremos a linha recta de um canto ao outro. 

 

Pelo  Teorema de Pitágoras vem que 

 a²=930²+2310² e portanto,

 a=2490,180716 

 

7.

 

a) Falsa

b) Falsa

c) Falsa

d) Verdadeira

 

8. A afirmação é verdadeira.

 

9.
a) [AB]² +  [BC]²  = [AC]²
b) [AB]² =  [AD]²  + [DB]²
c) [DC]² +  [BD]²  =  [BC]²

 

10.  
a) 
com  KÎ Z.
b)
com  KÎ Z.
c) Como
Então  

 

11.Como 
então,

 

 

12.   Pela fórmula fundamental da trigonometria, temos que
e
Então

 

 

13.   A diagonal da base da caixa mede 85cm, pois pelo teorema de Pitágoras

      x² = 75² +  40²

      x² = 7225

      x = 85

Logo a bengala cabe na caixa.

 

14.    O caminho mais curto é o segmento [AG], que é a hipotenusa do triângulo rectângulo interno no salão
   O segmento [EG] é a diagonal da base, então

[EG]² = 15² +  20²

[EG]² = 225 + 400 = 625

[EG] = 25

    Então

[AG]² = 10² +  25² = 725

[AG] = 27  

 

   O caminho mais curto entre a aranha e o petisco é de 27m.

 

Voltar atrás

Actividades

1. 1.1 Com uma régua e um transferidor constrói triângulos rectângulos cujos catetos meçam:

            1.1.1 5 cm e 12 cm

            1.1.2 6 cm e 8 cm

            1.1.3 1,5 cm e 2 cm

            1.1.4 1,2 cm e 1,6 cm

      1.2 Indica a medida das hipotenusas dos triângulos que obtiveste na alínea anterior.

      1.3 Estes triângulos verificam o Teorema de Pitágoras? Justifica.

2. Utiliza um rolo de cordel e tenta fazer 36 nós a igual distância uns dos outros.

    Vais construir, com o cordel, triângulos rectângulos. Para teres a garantia que o triângulo é rectângulo, apoia o cordel (os catetos do triângulo) na esquina de uma mesa rectangular. A distância entre os nós é a unidade.

    Preenche a seguinte tabela, onde são dadas as medidas dos catetos (a e b) e se pretende a medida da hipotenusa (c).

a

b

c

3

4

 

6

8

 

5

12

 

9

12

 

5

5

 

 

Nota: para preencheres a tabela terás que a imprimir.     

   Certamente obtiveste para valor de c, sucessivamente: 5, 10, 13, 15.

    Preenche agora a seguinte tabela dos quadrados dos comprimentos dos lados.

a

b

c

3

4

5

 

 

 

6

8

10

 

 

 

5

12

13

 

 

 

9

12

15

 

 

 

5

5

(50)œ

 

<font fac

Actividades

1. 1.1 Com uma régua e um transferidor constrói triângulos rectângulos cujos catetos meçam:

            1.1.1 5 cm e 12 cm

            1.1.2 6 cm e 8 cm

            1.1.3 1,5 cm e 2 cm

            1.1.4 1,2 cm e 1,6 cm

      1.2 Indica a medida das hipotenusas dos triângulos que obtiveste na alínea anterior.

      1.3 Estes triângulos verificam o Teorema de Pitágoras? Justifica.

2. Utiliza um rolo de cordel e tenta fazer 36 nós a igual distância uns dos outros.

    Vais construir, com o cordel, triângulos rectângulos. Para teres a garantia que o triângulo é rectângulo, apoia o cordel (os catetos do triângulo) na esquina de uma mesa rectangular. A distância entre os nós é a unidade.

    Preenche a seguinte tabela, onde são dadas as medidas dos catetos (a e b) e se pretende a medida da hipotenusa (c).

a

b

c

3

4

 

6

8

 

5

12

 

9

12

 

5

5

 

 

Nota: para preencheres a tabela terás que a imprimir.     

   Certamente obtiveste para valor de c, sucessivamente: 5, 10, 13, 15.

    Preenche agora a seguinte tabela dos quadrados dos comprimentos dos lados.

a

b

c

3

4

5

 

 

 

6

8

10

 

 

 

5

12

13

 

 

 

9

12

15

 

 

 

5

5

(50)œ

 

 

 

 

    Existirá alguma relação entre os valores da última coluna e os das duas anteriores?

9

16

25

36

64

100

25

144

169

81

144

225

25

25

50

 

    Verifica-se que:

                            25=9+16 ou seja, 5²=3²+4²

                            100=36+64 ou seja, 10²=6²+8²

                            169=25+144 ou seja, 13²=5²+12²

                            225=81+144 ou seja, 15²=9²+12²

                            50=25+25 ou seja,  50=5²+5²  

 

    Que podes concluir?

    c² = a² + b², isto é, num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma  dos quadrados dos catetos.

    Estas duas actividades põem em evidência, geométrica e numericamente, a propriedade dos triângulos conhecida por Teorema de Pitágoras.

3. Material: cartolina, régua/esquadro, tesoura

    3.1 Começa por desenhar dois quadrados com dimensões diferentes à tua escolha. recorta-os.

    3.2 Desenha agora outros dois quadrados (com as dimensões que escolheste antes) como se mostra na figura.

    3.3 Marca um ponto H de tal forma que a medida do comprimento de [CH] seja igual à do lado do quadrado menor [DG]. A seguir traça os segmentos de recta [AH] e [HF].

    3.4 Corta as cinco partes que obtiveste com esta decomposição e junta-os de forma a formares um quadrado.

    3.5 Com os dois quadrados que construíste em 3.1 e com o quadrado anterior forma a figura.

    3.6 Que conclusões podes tirar?

 

4. Constrói, no geoplano, as seguintes figuras:

    Vais precisar de calcular a área de cada figura. Se tiveres dificuldade nalgum caso, podes enquadrar a figura por um rectângulo e subtrair à área do rectângulo, a que "sobra" da figura.

   Preenche agora a tabela:

 

Área da figura

Área da figura

Área da figura

construída sobre

construída sobre o

construída sobre a

um dos catetos

outro cateto

hipotenusa

FIGURA 1

 

 

 

FIGURA 2

 

 

 

FIGURA 3

 

 

 

FIGURA 4

 

 

 

 

    Nota: para preencheres a tabela terás que a imprimir.  

   Podes tirar alguma conclusão?

   Experimenta construir outras figuras semelhantes sobre os lados de um triângulo rectângulo. Verifica se a conclusão é a mesma.

 

5. Palavras Cruzadas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

 

 

T

 

B

R

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

D

 

 

G

 

 

 

 

E

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

N

G

 

 

 

O

 

 

 

 

 

H

 

 

 

M

 

 

 

 

I

 

E

 

 

 

 

J

 

 

 

T

 

 

L

 

 

 

R

 

 

 

 

 

M

 

I

 

 

 

 

 

 

N

 

A

 

 

         

HORIZONTAIS

A 1000 (rom.); 510 (rom.); um dos lados do triângulo rectângulo

B Matemático que libertou a Trigonometria da Astronomia; 10 (rom.)

C Símbolo matemático do co-seno

D Que tem amplitude

E 3 (rom.)

F Um dos sentidos possíveis do ângulo

G 2 (rom.)

H 1000 (rom.); 1005 (rom.)

I - Cateto adjacente a dividir pela hipotenusa

J 10 (rom.); matemático que introduziu os conceitos de seno,

co-seno e tangente

L Número de ângulos de um triângulo

M Cateto oposto a dividir pela hipotenusa; 500 (rom.)

N Pai da trigonometria; 10 (rom.)

VERTICAIS

1 2000 (rom.); um dos lados do triângulo rectângulo

2 1 (rom.)

3 550 (rom.); 1 (rom.); 1110 (rom.)

4 40 (rom.); 20 (rom.)

8 110 (rom.)

10 Símbolo matemático da tangente

11 2 (rom.)

12 Matemático que resolveu problemas algébricos importantes

recorrendo ao círculo trigonométrico

13 510 (rom.)

 

 

6. Sopa de Letras

h

t

s

b

p

t

o

l

o

m

e

u

f

Trigonometria

i

a

o

a

i

r

i

s

o

a

u

r

o

Ângulo

p

n

n

r

a

i

r

e

u

q

c

s

u

Ptolomeu

o

g

o

a

n

g

u

l

o

u

l

o

r

Tangente

t

e

s

e

n

o

s

i

c

i

o

o

i

Arquimedes

e

n

o

v

a

n

a

v

i

a

o

l

e

Fourier

n

t

n

i

n

o

b

t

u

s

o

a

r

Curva

u

e

o

d

o

m

o

d

u

l

o

r

i

Seno

s

o

s

e

d

e

m

i

u

q

r

a

r

Triângulo

a

m

o

m

a

t

e

m

a

t

i

c

a

Círculo

t

r

i

g

o

r

i

q

u

e

s

a

v

Matemática

o

l

u

c

r

i

c

a

b

e

c

a

a

Cateto

n

a

d

a

c

a

t

e

t

o

l

o

l

Hipotenusa

     Curiosidades

 

 

 

 

     Já por volta de 4000 a. C. os egípcios deviam conhecer um método de traçar ângulos rectos. utilizando uma corda onde eram dados treze  nós de forma que o espaço entre eles fosse igual, isto é, a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espaço entre dois nós consecutivos.

    Em seguida, três pessoas seguravam a corda, unindo os dois nós extremos e a fim de construírem um triângulo cujos lados medissem 3, 4 e 5 unidades. Tinham assim a certeza de que o ângulo era recto.

    O processo descrito ficou conhecido pela corda dos treze nós. O que acontecia se a corda tivesse, por exemplo, 25, 37 ou mais nós? Vamos ver se existe alguma relação entre os comprimentos dos lados desse triângulos, observando a seguinte tabela:

CORDA

PERÍMETRO

Lados do triângulo

Catetos

Hipotenusa

13 nós

12 unidades

3,4

5

25 nós

24 unidades

6,8

10

37 nós

36 unidades

9,12

15

49 nós

48 unidades

12,16

20

    Como podes verificar, existe uma ligação entre os comprimentos dos lados do triângulo com o número de nós das cordas.

    Repara: com 49 nós obténs um triângulo de perímetro igual a 48 unidades, cujos lados medem 12, 16, 20 unidades. O perímetro tem uma unidade de diferença em relação ao número de nós da corda. 

    Se analisares outro pormenor, verás que o número de unidades da hipotenusa é sempre múltiplo de 5, e os dois catetos têm diferença de 1 unidade, 2 unidades, 3 unidades, etc., conforme a corda for de 13, 25, 37, ou mais nós.

    No entanto, existe outra ligação entre os comprimentos destes lados, que foi descoberta por Pitágoras de Samos. Este, ao analisar esses comprimentos, concluiu o seguinte: 

5² = 3² + 4²          10² = 6² + 8²          15² = 9² + 12².

    Esta igualdade verifica-se para qualquer triângulo rectângulo e a sua generalização ficou conhecida pelo Teorema de Pitágoras. 

Sabias que James Abram Gardield, presidente dos Estados Unidos durante 4 meses (pois foi assassinado em 1881), que também era general, fez uma demonstração do Teorema de Pitágoras? É verdade! Queres saber mais? 

    Considera a seguinte figura:

    A área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de três triângulos rectângulos. Portanto, wpe82.jpg (2665 bytes).

    Simplificando, obtemos wpe83.jpg (1203 bytes).

Sabias que o grande génio de Mona Lisa também concebeu uma demonstração do Teorema de Pitágoras? Pois é, Leonardo da Vinci também o fez...

    Observa que os quadriláteros [ABCD], [DEFA], [GFHI] e [GEJI] são congruentes.

    Logo, os hexágonos [ABCDEF] e [GEJIHF] têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado [FEJH] é a soma das áreas dos quadrados [ABGF] e [CDEG]. 

Não desanimes, pois ainda temos mais uma demonstração para te oferecer! Desta vez, é a chamada demonstração mais curta, que é talvez a mais conhecida. Baseia-se na consequência da semelhança de triângulos rectângulos: "Num triângulo rectângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projecção  sobre ela". Assim, se m e n são, respectivamente, as projecções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a² = mc, b² = nc, enquanto que m + n = c. Somando, vem a² + b² = c².

 

Quem somos?

 

    Somos três alunas do 4º ano do curso de Ensino da Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

 

Querem conhecer-nos melhor?!

 

Eu sou a Ana Raquel, tenho 24 anos.

 

 

Eu sou a Carla e tenho 26 anos.

 

Eu Sou a Tânia e tenho 23 anos.

 

Ficaram satisfeitos com a nossa apresentação? Mas agora tem a oprtunidade de nos ficarem a conhecer melhor. (clicar sobre a imagem)

Carla     Tânia     Raquel

voltar à página principal

Bibliografia

   Loureiro, F., Mendes, E., & Salvado, A. (1999). Matemática 8º ano: desafios (1.ª ed.). Lisboa: Constância Editores S.A.

   Leitão, T., Rodrigues, C., & Santos, F. (1999). Matemática 8. Lisboa: Plátano Editora.

   Carvalho e Silva, J., Fernandes, D., Fonseca, L., Pimentel, T., & Vale, I. (1999). Lisboa: Areal Editores.
 
 
 
 

Pôr do Sol Trigonométrico

Oscila a onda

Baixa a maré

Vem o pôr do sol

A noite cai

O pêndulo marca a hora

Chega a onda sonora  

Os fenómenos sucedem-se em ritmos amenos

Os ciclos repetem-se com simetria

O cientista estudou

E tudo são senos e co-senos

Da trigonometria

Maria Augusta Ferreira Neves

Sem comentários:

Enviar um comentário