segunda-feira, 7 de setembro de 2009

Trigonometria

 

Índice

gordinho.gif (5600 bytes) Introdução
gordinho.gif (5600 bytes) A Nossa Apresentação
gordinho.gif (5600 bytes) Breve Introdução Histórica
gordinho.gif (5600 bytes) Teoria
gordinho.gif (5600 bytes) Exemplos Práticos
gordinho.gif (5600 bytes) Exercícios
gordinho.gif (5600 bytes) Propostas de Actividade
gordinho.gif (5600 bytes) Outros link's
gordinho.gif (5600 bytes) Voltar ao Princípio

" TRIGONOMETRIA"

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Introdução:

 

       A página TRIGONOMETRIA foi realizada no âmbito da cadeira de I.C.M., pelas alunas Ana Filipa Carvalho, Ana Paula Martins e Cláudia Margarida Canário, do 4ºAno do curso do Ensino de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa do ano lectivo 1999/2000.

       Esta página foi criada com a finalidade de auxiliar os professores (e futuros professores) de Matemática, visando principalmente o programa do 11º ano de escolaridade, fornecendo material de apoio e propostas  inovadoras  a utilizar quer na sala de aula, quer no exterior. Optámos por excluir a parte do programa relativa às funções trigonométricas, devido ao facto de se correr o risco da página se tornar demasiado extensa.

       Os professores, encontrarão na nossa página novas formas de demonstrar certos conceitos, exercícios interactivos (com auxílio do programa Sketchpad), propostas de exercícios, com vista a cativar a atenção dos alunos.       

       A proposta de utilização do programa Sketchpad na resolução de exercícios, permite que o aluno, ao poder modificar as figuras, visualize melhor o que o exercício pede, facilitando a resolução deste e de outros exercícios semelhantes. 

       Pelo que anteriormente enunciámos, aconselhamos  também os estudantes a visitar esta página, uma vez que possui exemplos e exercicíos práticos que ajudam a visualização da matéria e, permitem uma melhor compreensão  dos conteúdos relativos a esta parte do programa .

 

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A Nossa Apresentação

 

       Olá!

        Antes de mais, apresentemo-nos...

        Eis a nossa fotografia.

 

 

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    Da direita para a esquerda, temos:

    Ana Paula Silva Martins, Ana Filipa Vaz de Carvalho e Cláudia  Margarida da Ponte Canário.

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E-Mail: l22595@fc.ul.pt

Nº22595

Como já viram chamo-me Ana Paula, mas sou mais conhecida por Paula. Sou uma jovem quase finalista do curso de Ensino da Matemática. Posso dizer que gosto do curso e estou feliz por o estar a acabar.

Bom, mas o mais importante é que gostem desta página, pois deu muito trabalho tanto a mim como à Cláudia e à Filipa.

Mas no fundo gostei de a fazer...

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E-Mail:l21857@fc.ul.pt

Nº21857

Olá! Como já tiveram oportunidade de ver, chamo-me Ana Filipa Carvalho. Sou aluna da Faculdade de Ciências no curso de Ensino de Matemática.

Espero que gostem e se divirtam (pelo menos tanto como nós) na nossa página, e que esta vos seja útil, oferecendo-vos uma variedade de opções que possam utilizar na sala de aula.

Sem mais por agora...Até Breve!!!

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E-Mail:l21722@fc.ul.pt

Nº21722

Oi!! Como devem imaginar eu sou a Cláudia e, tal como as minhas colegas também sou aluna da Faculdade de Ciências de Lisboa no curso de Ensino de Matemática.

Foi com muita satisfação que ajudei na construção desta página, quer pelas colegas com que trabalhei, quer pelo que aprendi, apesar de ter tido muitas "dores de cabeça" durante o processo de realização desta página.

Espero que as pessoas que venham a consultá-la encontrem motivos para cá voltar e que considerem as nossas propostas de actividades interessantes.

Por tudo isto espero que gostem da nossa pagina.

Bem ajam...

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Breve Introdução Histórica

 

    A Trigonometria é o ramo da Matemática relacionado com a resolução de triângulos, usando razões trigonométricas.


    O valor prático da Trigonometria é enorme, especialmente na Astronomia, na Engenharia, na Agricultura, na Navegação...

 
    Na Trigonometria temos ainda uma divisão a fazer, existe a Trigonometria plana que estuda os triângulos planos e a Trigonometria Esférica que trata de triângulos esféricos.
                   

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    Aqui verifica-se que no triângulo da Trigonometria plana, os lados são segmentos enquanto que na esférica os lados são arcos.


    As funções trigonométricas submetem-se ao tratamento analítico e prestam serviços na representação de ondas e outros fenómenos periódicos que se estudam em Mecânica, Óptica acústica, Electricidade...


    Mas passemos então à história propriamente dita.
   

Os Egípcios


    Os primeiros rudimentos de Trigonometria foram encontrados no Egipto e na Mesopotâmia.

    Numa pedra babilónica ( 1900 a 1600 a.C.) estão listadas algumas razões equivalentes a 1/cos2(x).

    Temos também um papiro conhecido por papiro de Rhind, pois foi um rico antiquário chamado Henry Rhind que o comprou no vale do Nilo, mas que na verdade foi escrito por Ahmes um escriba e sacerdote dessa altura. Neste papiro podiam-se encontrar problemas sobre construção de pirâmides, em que são usadas razões entre os lados de um triângulo.

 

Os Babilónicos

     No entanto nem os babilónicos, nem os egípcios dispunham do actual conceito de ângulo e as razões, do tipo das referidas atrás, eram vistas como propriedades dos triângulos e não dos ângulos.

 
    Estes foram os registos mais antigos mas depois disto temos os gregos.

 

Os Gregos

 
    Estes foram grandes estudiosos da trigonometria de entre os mais famosos temos Hipocrates de Chios(430 a.C.) que se considera como o primeiro a estudar as relações entre o arco de circunferência e a corda correspondente, criando-se a primeira antepassada das "tábuas trigonométricas".


    Depois temos Manelaus de Alexandria que publicou "Esféricos" em 100 a.C. e foi o primeiro a usar triângulos esféricos tendo "criado" a Trigonometria esférica.


    E temos finalmente o mais notável geógrafo grego Ptolomeu que também era matemático e astrónomo tendo escrito "Almagest", livro que continha tabelas de cordas de ângulos que começavam em 0.5º acabavam em 180º e eram de 0.5 em 0.5. Este matemático também procurou aplicar os conhecimentos obtidos da Geometria à Trigonometria e à Astronomia, estabeleceu várias identidades trigonométricas e ainda considerou três eixos rectangulares para fixar um ponto celeste.

 
    Apesar de se considerar que foram os grego os grandes   impulsionadores da Trigonometria é evidente que não foram eles os únicos que a estudaram, e os povos que de seguida se interessaram por esta matéria foram os hindus e os árabes.

 

Os Híndus


     Dos hindus, um dos famosos é Aryabhata (415 d.C.) que escreveu um livro todo em verso, sobre Astronomia, elementos de cálculo e medida de ângulos. Depois temos Siddhantas que estudou pela primeira vez a relação entre metade da corda e metade do ângulo ao centro correspondente à corda, tendo assim aparecido a função seno.


    Embora todos os matemáticos anteriormente descritos serem muito importantes foram os árabes que nos transmitiram esses conhecimentos à Europa pois foram os primeiros a traduzir os seus escritos, que por sua vez foram traduzidos para latim e assim sucessivamente até aos dias de hoje.

Os Árabes

 

    De entre os árabes o destaque vai para Al'Battani (850-920), cuja Astronomia era conhecida na Europa como Albategnius. No livro " O movimento das estrelas" podem encontrar-se fórmulas como

b=[a*sen(90º-A)]/senA                                        

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onde aparecem senA e sen(90º-A) que hoje se escreve como cosA.


    Um século mais tarde surge Abdul'Wafa que já conhecia bem a função tangente e portanto a igualdade anterior já se podia escrever como

a=b*tgA

   

     A Trigonometria deste autor é mais sistemática, tendo desta forma provado propriedades como por exemplo as fórmulas da duplicação e bissecção do ângulo. Este matemático usou as seis funções trigonométricas seno, co-seno, tangente, co-tangente, secante e co-secante bem como as relações entre elas.


    Depois e durante vários anos verificou-se uma aparente acalmia neste campo surgindo algo novo apenas na idade média.

 

IDADE MÉDIA


    Surge então Regiomontanus (séc. XV) que no seu trabalho mais original "De triangulis omnimodis libri quinque" fez uma introdução completa à Trigonometria e resolveu questões de Geometria plana e esférica. Foi a partir daqui que a Trigonometria se torna uma ciência independente da Astronomia.


    Os avanços que vieram depois são devidos a Copérnico e ao seu aluno Rhecticus (séc. XVI ), este famoso estudioso estabeleceu o uso das seis funções trigonométricas, referidas anteriormente, e construiu tabelas de valores das mesmas, tendo também estudado a ideia de que essas funções representam razões, num triângulo rectângulo.


    Vamos agora passar por um período de grande entusiasmo pela Trigonometria, tendo sido agora que este nome ficou ligado ao assunto, temos então Viète (séc. XVI ), que obteve as fórmulas do produto (ou logarítmicas ), as fórmulas da tangente (tg(A/2), tg(B/2), tg(C/2), num triângulo ABC de lados a, b, c e perímetro 2) e as fórmulas do ângulo múltiplo (cos(nx), etc...).


     Um pouco mais tarde aparece Roberval (1602-1675) que formula problemas relacionados com o seno, que dão uma importante indicação de que a Trigonometria não é só cálculo ou seja é algo mais. Nesta linha provou o seguinte

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e deste modo mostrou que os problemas de áreas podem ser mais fáceis de manejar que as questões de tangentes.


    Outra das grandes figuras é sem dúvida, Euler que na "Introductio" de 1748 estabeleceu o tratado analítico das funções trigonométricas, de modo que o seno já não era um segmento de recta, passou a ser um número ou a razão ou a ordenada de um ponto no círculo trigonométrico ou um número dado pela soma de termos infinitos

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    Não nos podemos esquecer também de que as actuais formas de apresentação como sen, cos, tg, sec se devem a este matemático.


    Um pouco mais tarde aparece Fourrier, um famoso aluno de Monge, de Lagrange e professor, da então recente, Escola Politécnica de Paris. Este participou na aventura napoleónica ao Egipto na qual começou a compilar elementos para a "Descrição do Egipto". Quando regressou a França publicou o livro "Teoria Analítica do Calor" que teve um papel importante em toda a Matemática, tendo até sido chamado de grande poema matemático.


    Este matemático disse frases como " Qualquer função periódica ƒ, de frequência N pode ser considerada como a soma de funções sinusoidais de frequência N, 2N, ... , e estas somas de termos infinitos - séries - são hoje conhecidas como Séries de Fourrier.

PORTUGAL


        Mas então e em Portugal, não aconteceu nada neste meio termo?

    Bom isso não é bem verdade, pois no reinado de D. João V, foi desenhado com bastante rigor " o mapa do Reyno de Portugal " . Mas só no séc. XVIII se iniciaram os trabalhos de "triangulação geral do Reino", que Filipe Folque, avançou definitivamente e que foi terminada em 1891.A travessia da África por Serpa Pinto e os trabalhos do Almirante Gago Coutinho, o mais notável geógrafo português, permitiram os levantamentos cartográficos de Angola, Moçambique, São Tomé e Timor.

    A Trigonometria teve ainda um papel importante no estudo dos números complexos, mas fórmulas de Euler e ainda no estudo de fenómenos de natureza periódica.

 

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Alguma Teoria ...

 

 

Teorema de Pitágoras:                                  

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       O segredo todo desta prova do Teorema de Pitágoras reside no paralelogramo colorido na figura. A partir de um triângulo rectângulo qualquer, traçam-se quadrados adjacentes a cada um dos lados. Evidentemente, o lado de cada quadrado corresponde a cada um dos catetos e à hipotenusa.

       A seguir, traça-se uma paralela à hipotenusa passando pelo centro do quadrado do cateto maior. A intersecção desse segmento de recta com os lados opostos desse quadrado determina o paralelogramo colorido de cinzento.

       Pelo centro do mesmo quadrado, traça-se a seguir uma perpendicular ao lado maior do paraalelogramo obtido. Com isso, a área do quadrado do cateto é dividida em quatro trapézios rectângulos iguais, portanto de mesma área.

       Se os quatro trapézios rectângulos iguais obtidos forem arranjados como mostrado no quadrado cujo lado é a hipotenusa do triângulo, sobra uma área que é exactamente um quadrado. O lado desse quadrado é exactamente igual à diferença entre o lado "a" e o lado "c" de cada trapézio rectângulo, diferença essa que por sua vez é exactamente igual ao quadrado do cateto menor, marcado "b"     (a sombreado na figura).

Resultado: A soma dos quadrados (pelas suas áreas) dos catetos do triângulo rectângulo é igual ao quadrado ( pela sua área) da hipotenusa do mesmo triângulo,quod erat demonstrandum!

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Razões Trigonométricas num Triângulo Rectângulo:

 

No 9ºano deverão ter sido estudadas algumas das relações trigonométricas essenciais para a compreensão das que serão dadas este ano, nomeadamente as Razões Trigonométricas Num Triângulo Rectângulo.

Fazendo um breve resumo, temos:

 

 

 

Sena=
Cos
a=
tga=

   

        Demonstração:

Consideremos o triângulo [ABC] rectângulo em A.

 

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     Pelo teorema anteriormente demonstrado de forma mais simplificada, isto é, pelo TEOREMA DE PITÁGORAS temos:b²+c²=a²   donde  +=1. Ora sena =  e  cosa =  logo:

sen

²a +cos²a =1

FÓRMULA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

 

    É fácil deduzir desta as seguintes fórmulas:

sen²a=1-cos²a
cos²a =1- sen²a

   Dividindo por cos²a e recordando que

=tga

Temos:

tg²a +1=

 

    Análogamente, dividindo por sen²a e dado que

cotga =

Obtemos:

1+cotg²a =

 

    As fórmulas anteriores são consideradas as fórmulas básicas da Trigonometria  e permitem deduzir, sem que recorramos ao auxílio de tabelas e/ou máquinas  de calcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo, desde que se conheça uma delas.     

 

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    As relações anteriores  não dependem do tamanho dos triângulos, isto é, do comprimento dos lados, mas apenas do ângulo a como se prova a seguir.

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b'

 

    Tendo os mesmos ângulos, o triângulo mais pequeno é semelhante ao tirângulo grande; e em triângulos semelhantes os lados correspondentes são proporcionais, logo:

sena==       cosa==          tga==

     Pelo que vimos anteriormente, é fácil obter as expressões para a tangente e co-tangente.

 

 

Razões do Ângulo Complementar:

 

       Consideremos agora o seguinte triângulo rectângulo:

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    Este triângulo pode ajudar a encontrar as razões trigonométricas de 90º-38º=52º que é o ângulo complementar de 38º.

    Isto é, cos 52º=Image10.gif (1217 bytes)=Image14.gif (884 bytes). Mas Image14.gif (884 bytes)   é o sen38º logo cos 52º=sen 38º.

    É esta a origem da palavra co-seno, isto é, seno do complementar.

   Obtemos assim:

cosa=sen(90º-a)

sena=cos(90º-a)

 

   Análogamente obtinhamos a co-tangente.

    Sabemos que

tg52º==

  que é o inverso de tg 38º. Logo tg 52º=. A  também se costuma chamar co-tangente do complementar.

   Conclui-se então que:

cotga =

cotga= tg(90º-a)

tga=cotg(90º-a)

 

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Linhas Trigonométricas:

 

      Como o seno de é igual à ordenada do ponto associado, ao eixo das ordenadas também se chama eixo dos senos.

      Como o co-seno de é igual à abcissa do ponto associado, ao eixo das abcissas também se chama eixo dos co-senos.

      A linha das tangentes é uma linha vertical que contém o ponto (1,0).

 

 

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...De onde vimos e para onde vamos...

 

 

     Desde os tempos mais remotos, o homem sempre se preocupou com esta questão.

     Os astrónomos gregos calcularam a distância da Terra à Lua através de funções chamadas trigonométricas. Estas funções também eram utilizadas para determinar a localização dos navios e para representar matematicamente sons musicais.

 

      Tales de Mileto aprendeu com os egípcios a determinar a altura de uma árvore sem ter de subir ao cimo da copa, o que, obviamente dava bastante jeito, pois permitia poupá-lo de sofrer uma perigosa queda. Para tal era apenas necessário medir a sombra da árvore.

     Assim se concluía, neste caso, que a árvore media 3,75 metros.

 

      Usando a semelhança de triângulos, Tales de Mileto descobria a que distância estavam os barcos inimigos da costa grega.

 

      Também Eratóstenes calculou o raio da Terra com uma exactidão extraordinária para os meios de que dispunha.

 

OUTROS EXEMPLOS:

         O Papagaio:

    O vento conserva o fio esticado e fazendo 60º com a horizontal. Quando se desenrolaram 70 m de fio a que altura estava o papagaio?

    NOTA: As mãos do rapaz estão a 1,80 metros do chão, aproximadamente.

     

     

     

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     Área da Pirâmide.

     A pirâmide é regular e a base tem      20 cm de lado.

     Exprime a área total da pirâmide em função de Image4.gif (848 bytes) .

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RESOLUÇÃO:

=20Ž 20=400

Seja h a altura das faces laterais:

             = tg

 Portanto     10= h tg h =

Área de uma face lateral :

                        A== 10h

Logo, Área das 4 Faces=4 e

                 Área total=400+

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Propostas

 

   TAREFAS  EXTERIORES

  E que tal se levar os seus alunos para a rua???

    1ª PROPOSTA:

      Poderá aproveitar um bonito dia de sol para lhe ensinar como poderão eles medir o ângulo que o sol faz, a determinada hora do dia, consoante a sombra que eles projectam no chão.

 

    2ªPROPOSTA:

      Com o auxílio de materiais manipuláveis, por exemplo, uma placa de esferovite, 2 pregos e 2 bancos é possível determinar um ângulo,procedendo da seguinte maneira:

        - Espete por exemplo, o primeiro prego no canto inferior esquerdo da placa de esferovite;

        - Seguidamente, espete o segundo prego de modo a que, o aluno possa ver o cimo do edifício alinhado com este e o prego anterior.

        Para a execução desta tarefa sugerimos que se formem grupos, com vista a determinar qual o edifício e/ou árvore mais altos das redondezas.

 

  

      TAREFAS PARA A SALA DE AULA

 

   PROPOSTA:

         Desenha a planta de um pavilhão redondo, a construir numa feira, e obedecendo às seguintes condições:

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      O pavilhão tem de raio 20 metros; O arco maior AB é 3/4 da circunferência.
Os visitantes vão circular por duas passereles [AC] e [BC] de igual comprimento.
Determine o comprimento destas passereles.

 

     2ªPROPOSTA: EM GRUPO

       Determine a altura de um monte com auxílio de um mapa.

      Sugestões: Assinalar no mapa o local A, onde se encontra; assinalar com B o monte que queremos medir, como é indicado na figura abaixo.
       Determinar, pelo mapa, a distância AB (atenção à escala do mapa!) Medir
Image4.gif (848 bytes).

  

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   PROPOSTA: Distância dos Castelos Inacessíveis

( Este problema serve de introdução ao tema seguinte, nomeadamente o produto escalar)

       

        (a) Escolher uma base fácil de medir (seja =100m).

        (b) Em A medem-se CÂB e DÂB. Em B medem-se D^BA e C^BA. Atribui        medidas a estes ângulos que sejam coerentes com o desenho.

        (c) Calcula e a partir das medidas escolhidas em (b).

        (d) Para resolver o triângulo [ACD] temos que recorrer ao capítulo seguinte «Produto Escalar».
(=+-2.cos CÂD)
.

 

 

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E agora outros link's também relacionados com a trigonometria

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Neste site encontramos um pouco de tudo o que está relacionado com a trigonometria desde um pouco de história até exercícios e aplicações a vários níveis de conhecimento.

   Tal como o próprio nome indica trata-se de uma página que trata essencialmente de história dando a possibilidade de se aprofundar o conhecimento relativo a alguns matemáticos famosos.

   No site agora apresentado podemos encontrar algum teoria, tabelas de valores das funções trigonométricas, e ainda como não podia deixar de ser, as famosas fórmulas.
http://www.cdcc.sc.usp.br/cda/aprendendo-superior/ufrgs/fis207/trigesf

   A abordagem da trigonometria aqui encontrada, é a da fisica com as suas aplicações.

   Nonius – Arquivo electrónico de Matemática.
http://www.ip.pt/~ip240595

     Visite a gargalhada, um pouco de humor para descontrair…
http://www.cl-gaia.rcts.pt/matematica

    Óptimo para quem quer iniciar o seu percurso no Sketchpad, com exemplos interactivos,aconselhamos a visitar galerias. 

     Fichas com exercícios desde 7º ano ao 12º

     Aconselha-se em especial (matehumor.htm) ou (matemagi.htm)

   Apesar de a página demorar muito tempo a carregar, aconselhamos a visitá-la pois tem aplicações interactivas bastantes interessantes.

 

Bibliografia

 

  • Lima, Yolanda; Gomes, Francelino; Xeqmat 11º ano                                      Matemática, Editorial o Livro

  • Frank Ayers, Jr; Trigonometria, colecção Schaum,1958 

 

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